Constrained von Neumann inequalities, higher rank numerical range and applications to the harmonic analysis.
Inégalités de von Neumann sous contraintes, image numérique de rang supérieur et applications à l'analyse harmonique.
Résumé
Let denote by S(φ) the extremal operator defined by the compres- sion of the unilateral shift S to the model subspace H(φ) as the following S(φ)f (z) = P (zf (z)), where P denotes the orthogonal projection from H2 onto H(φ) and φ is an inner function on the unit disc. In this thesis, we give an explicit formula of the numerical radius of S(φ) in the particular case where φ is a finite Blaschke product with unique zero and an estimate on the general case. We establish also a sharpened Schwarz-Pick operatorial inequality generalizing a U. Haagerup and P. de la Harpe classical result for nilpotent operators. In the second part, we are interested by the higher rank numerical range of the shift. An explict formula of the higher rank numerical range of the shift is given.
Cette thèse s'inscrit dans le domaine de la théorie des opérateurs qui consiste en l'étude des endomorphismes continus d'un espace vectoriel normé qu'on notera H dans toute la suite. Il sera supposé muni d'une structure d'espace de Hilbert complexe et séparable. On note B(H) l'algèbre de Banach l'espace de tous les opérateurs linéaires et bornés sur H. L'un des opérateurs qui m'a particulièrement attiré est l'opérateur modèle noté S(φ) qui désigne la compression du shift unilatéral S sur l'espace modèle H(φ) où φ est une fonction intérieure. Si l'opérateur S(φ) a été intensivement étudié dans les années 60 et 70, le calcul de son rayon numérique reste un problème ouvert largement étudié. Certains mathématiciens tels que Wu, Gau Mirman et bien d'autres se sont intéressés à l'image numérique de S(φ) dans le cas particulier où φ est un produit de Blaschke fini. Ils ont d'ailleurs prouvé qu'elle vérifie certaines propriétés géométriques telles que la propriété de Poncelet. Néanmoins l'étude du rayon numérique de S(φ) s'est avérée d'une grande importance et a beaucoup d'applications en analyse harmonique. Dance cette thèse nous donnons une expression explicite du rayon numérique de S(φ) dans le cas particulier où φ est un produit de Blaschke fini avec un unique zéro et une estimation dans le cas d'un produit de Blaschke fini avec des zéros différents. Dans la deuxième partie de cette thèse on s'est intéressé à l'image numérque de rang supérieure qui est l'ensemble de tous les nombres complexes λ véri- fiant P T P = λP pour une certaine projection orthogonale P de rang k . Cette notion a été introduite par M.-D. Choi, D. W. Kribs, et K. Zyczkowski et elle est utilisée pour certains problème en physique. Pour k = 1, l'image numérique de rang supérieure coincïde avec l'image numérique classique. H. Woerdeman a montré que l'mage numérique de rang supérieure est convexe aprés avoir réduit dans une première phase le problème de convexité à résoudre une équation de type Ricatti. Pour l'image numérique de rang supérieure du shift n-dimensionnel S_n , on a donné explicitement l'mage numérique de rang supérieure de S_n et de S.