Trace au bord de solutions d'équations de Hamilton-Jacobi elliptiques et trace initiale de solutions d'équations de la chaleur avec absorption sur-linéaire - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Boundary trace of solutions to elliptic Hamilton-Jacobi equations and initial trace of solutions to heat equations with superlinear absorption

Trace au bord de solutions d'équations de Hamilton-Jacobi elliptiques et trace initiale de solutions d'équations de la chaleur avec absorption sur-linéaire

Résumé

This thesis is divided into three parts. In the first part, we study the boundary value problem with measures for the Hamilton-Jacobi equation (E1) $-\Delta u+g(|\nabla u|)=0$ in a bounded domain $\Omega$ in ${\mathbb R}^N$, satisfying (E2) $u = \mu$ on $\partial \Omega$ and provide a condition on $g$ for which the problem (E1)-(E2) can be solved with any positive bounded measure. When $g(r) \geq r^q$ with $q>1$, we prove that any positive solution of (E1) admits a boundary trace which is an outer regular Borel measure, not necessarily bounded. When $g(r)=r^q$ with $1
Cette thèse est constituée de trois parties. Dans la première partie, on s'intéresse au problème de trace au bord d'une solution positive de l'équation de Hamilton-Jacobi (E1) $-\Delta u+g(|\nabla u|)=0$ dans un domaine borné $\Omega$ de ${\mathbb R}^N$, satisfaisant (E2) $u = \mu$ sur $\partial \Omega$. Si $g(r) \geq r^q$ avec $q > 1$, on prouve que toute solution positive de (E1) admet une trace au bord considérée comme une mesure de Borel régulière, pas nécessairement localement bornée. Si $g(r) = r^q$ avec $1 < q < q_c = \frac{N+1}{N}$ , on montre l'existence d'une solution positive dont la trace au bord est une mesure de Borel régulière $\nu \not \equiv \infty$ et on caractérise les singularités frontières isolées de solutions positives. Si $g(r) = r^q$ avec $q_c \leq q < 2$, on établit une condition nécessaire de résolution en terme de capacité de Bessel $C_{\frac{2-q}{q},q'} . On étudie aussi des ensembles éliminables au bord pour des solutions modérées. La deuxième partie est consacrée à étudier la limite, lorsque $k \to \infty$, de solutions d'équation $\partial_t u - \Delta u + f(u) =0$ dans ${\mathbb R}^N \times (0;\infty)$ avec donnée initiale $k\delta_0$ où $0$ est la masse de Dirac concentrée à l'origine et f est une fonction positive, continue, croissante et satisfaisant $f(0) = f^{-1}(0) = 0$. On prouve, sous certaines hypothèses portant sur f, qu'il existe essentiellement trois types de comportement possible en fonction des valeurs finies ou infinies des intégrales $\int_1^\infty f^{-1}(s)ds$ et $\int_1^\infty F^{-1/2}(s)ds$, où $F(s)=\int_0^s f(r)dr$. Grâce à ces résultats, on donne une nouvelle construction de la trace initiale et quelques résultats d'unicité et de non-unicité de solutions dont la donnée initiale n'est pas bornée. Dans la troisième partie, on élargit le cadre de nos investigations et généralise les résultats obtenus dans la deuxième partie au cas où l'opérateur est non-linéaire. En particulier, on s'intéresse à des propriétés qualitatives de solutions positives de l'équation $ \partial_t u-\Delta_p u+f(u)=0$ où $p > 1, \Delta_p u = div(\abs{\nabla u}^{p-2}\nabla u)$ et $f$ est une fonction continue, croissante, positive et satisfaisant $f(0) = 0 = f^{-1}(0)$. Si $p > \frac{2N}{N+1}$, on fournit une condition suffisante portant sur f pour l'existence et l'unicité des solutions fondamentales de données initiales $k\delta_0$ et on étudie la limite, lorsque $k \to \infty$, qui dépend du fait que $f^{-1}$ et $F^{-1/p}$ soient intégrables à l'infini ou pas, où $F(s) =\int_0^s f(r)dr. On donne aussi de nouveaux résultats de non-unicité de solutions avec donnée initiale non bornée. Si $p \geq 2$, on prouve que toute solution positive admet une trace initiale dans la classe de mesures de Borel régulières positives. Finalement on applique les résultats ci-dessus au cas modèle $f(u)=u^\alpha \ln^\beta(u+1)$ avec $\alpha>0$ et $\beta>0$.
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Dates et versions

tel-00710410 , version 1 (20-06-2012)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00710410 , version 1

Citer

Phuoc Tai Nguyen. Trace au bord de solutions d'équations de Hamilton-Jacobi elliptiques et trace initiale de solutions d'équations de la chaleur avec absorption sur-linéaire. Equations aux dérivées partielles [math.AP]. Université François Rabelais - Tours, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00710410⟩
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