Interpolation réelle des espaces de Sobolev sur les espaces métriques mesurés et applications aux inégalités fonctionnelles - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2007

Interpolation réelle des espaces de Sobolev sur les espaces métriques mesurés et applications aux inégalités fonctionnelles

Nadine Badr
  • Function : Author
  • PersonId : 856374

Abstract

In this Thesis, we study the real interpolation of Sobolev spaces and its applications. It is composed of two parts. In the first part, we prove in the first chapter that the non homogenous (resp.homogeneous) Sobolev spaces W^1_p defined on a complete Riemannian manifold satisfying the doubling property and admitting a Poincare inequality, form a real interpolation scale on an interval of values of p. We extend this result to other geometric frame. In a second chapter, we compare different Sobolev spaces defined on the euclidean cone and see how they behave with repect to the interpolation. With this example, we show tha Poincaré inequality is not a necessary condition to interpolate sobolev spaces. In the last chapter of this part, we define the non homogeneous (resp. homogeneous) Sobolev spaces W^1_p,V associated to positif potential V on a Riemmanian manifold. We prove that if the manifold satisfies the doubling property and admits a Poincaré inequality and if V belongs to a Reverse Holder class, these Sobolev spaces form a real interpolation scale on an interval of values of p. We also extend this result to the case of Lie groups. In the second part, in the first chapter in collaboration with E. Russ, we sutdy on a graph satisfying the doubling property and Poincaré inequality, the L^p boundedness of the Riesz transform for p>2 and its reverse inequality for p<2. For our purpose, we also prove Littlewood-Paley inequalities and interpolation results for Sobolev spaces in this context, which are of independent interest. In the last chapter, using our interpolation result, we prove Gagliardo-Nirenberg inequalities on a Riemannian manifold satisying the doubling property and admitting Poincaré and Pseudo-Poincaré inequalities. This result also applies in the case of Lie groups and on graphs.
Dans cette thèse, nous étudions l'interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le manuscrit est constitué de deux parties. Dans la première partie, nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes W^1_p (resp. homogènes ) sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d'autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cone Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l'interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l'hypothèse de Poincaré n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homog'nes W^1_p,V (resp. homogènes ) associés à un potentiel positif V sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété véifie la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus V est dans une classe de Holder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous étudions sur un graphe vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré, la Lp bornitude de la transformée de Riesz pour p > 2 et son inégalité inverse pour p < 2. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d'interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d'interpolation, des inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s'applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.
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Dates and versions

tel-00736066 , version 1 (27-09-2012)

Identifiers

  • HAL Id : tel-00736066 , version 1

Cite

Nadine Badr. Interpolation réelle des espaces de Sobolev sur les espaces métriques mesurés et applications aux inégalités fonctionnelles. Géométrie métrique [math.MG]. Université Paris Sud - Paris XI, 2007. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00736066⟩
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