Estimates of the conjugacy to rotations of circle diffeomorphisms. Successives conjugacies and smooth realizations - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Estimates of the conjugacy to rotations of circle diffeomorphisms. Successives conjugacies and smooth realizations

Estimées de la conjugaison à des rotations de diff éomorphismes du cercle. Conjugaisons successives et réalisations diff érentiables

Résumé

This thesis deals with some questions on differentiable dynamical systems. It comprises two relatively independent parts, with two chapters each. The first part deals with estimates of the conjugacy to rotations of circle diffeomorphisms and their applications. The second part deals with successive conjugacies and the smooth realization problem. The first chapter is based on a celebrated theorem by Herman and Yoccoz, which asserts that if the rotation number $\alpha$ of a $C^\infty$-diffeomorphism of the circle $f$ satisfies a Diophantine condition, then $f$ is $C^\infty$-conjugated to a rotation. We establish explicit relationships between the $C^k$ norms of this conjugacy and the Diophantine condition on $\alpha$. To obtain these estimates, we follow a suitably modified version of Yoccoz's proof. In the second chapter, we use some of these estimates to show two related results. The first is on quasi-reducibility: for a Baire-dense set of $\alpha$, for any diffeomorphism $f$ of rotation number $\alpha$, it is possible to accumulate $R_\alpha$ with a sequence $h_n f h_n^{-1}$, $h_n$ being a diffeomorphism. The second result of this chapter is: for a Baire-dense set of $\alpha$, given two commuting diffeomorphisms $f$ and $g$, such that $f$ has $\alpha$ for rotation number, it is possible to approach each of them by commuting diffeomorphisms $f_n$ and $g_n$ that are differentiably conjugated to rotations. The third chapter deals with the problem of non-standard smooth realization of translations of the torus. On some manifolds admitting a circle action, we construct volume-preserving diffeomorphisms that are metrically isomorphic to ergodic translations on the torus, where one given coordinate of the translation is an arbitrary Liouville number. To obtain this result, we determine sufficient conditions on translation vectors of the torus that allow to explicitly construct the sequence of successive conjugacies in Anosov-Katok's method, with suitable estimates of their norm. %we introduce and study the problem of non-standard couples of angles. W In the fourth chapter, on the same manifolds as previously, we show that the smooth closure of the smooth volume-preserving conjugation class of some Liouville rotations $S_\alpha$ of angle $\alpha$ contains a smooth volume-preserving diffeomorphism $T$ that is metrically isomorphic to an irrational rotation $R_\beta$ on the circle, with $\alpha \not\eq \pm \beta$, and with $\alpha$ and $\beta$ chosen either rationally dependent or rationally independent. In particular, the closed annulus $[0,1] \times \varmathbb{T}^1$ admits a smooth ergodic pseudo-rotation $T$ of angle $\alpha$ that is metrically isomorphic to the rotation $R_\beta$.
Cette thèse traite de quelques questions de dynamique différentiable. Elle se compose de deux parties relativement indépendantes, comprenant chacune deux chapitres. La première partie établit des estimées de la conjugaison à des rotations de difféomorphismes du cercle, et en obtient des applications. La seconde partie porte sur la méthode de construction par conjugaisons successives et le problème de réalisation différentiable. Le premier chapitre part d'un théorème célèbre de Herman et Yoccoz, qui affirme que si un difféomorphisme $C^\infty$ du cercle $f$ a un nombre de rotation $\alpha$ qui satisfait à une condition diophantienne, alors $f$ est $C^\infty$-conjugué à une rotation. Nous établissons des relations explicites entre les normes $C^k$ de cette conjugaison et la condition diophantienne sur $\alpha$. Pour obtenir ces estimées, nous modifions convenablement la preuve de Yoccoz. Dans le deuxième chapitre, nous utilisons certaines de ces estimées pour montrer deux résultats. Le premier porte sur le problème de quasi-réductibilité: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, pour tout difféomorphisme $f$ de nombre de rotation $\alpha$, il est possible d'accumuler $R_\alpha$ avec une suite $h_n f h_n^{-1}$, $h_n$ étant un difféomorphisme. Le second résultat de ce chapitre est: pour un ensemble Baire-dense de nombres $\alpha$, étant donnés deux difféomorphismes $f$ and $g$ qui commutent, tels que $f$ a $\alpha$ pour nombre de rotation, il est possible d'approcher chacun d'eux par des difféomorphismes $f_n$ et $g_n$ qui commutent, et qui sont conjugués de manière différentiable à des rotations. Le troisième chapitre traite du problème de réalisation lisse non-standard de translations du tore. Sur certaines variétés admettant une action du cercle, nous construisons des difféomorphismes préservant le volume, et métriquement isomorphes à des translations ergodiques du tore, tels qu'une coordonnée de la translation soit un nombre de Liouville arbitraire. Pour obtenir ce résultat, nous déterminons des conditions suffisantes sur des vecteurs de translation du tore qui permettent de construire explicitement la suite de conjugaisons successives dans la méthode d'Anosov-Katok, avec des estimées convenables de leur norme. %we introduce and study the problem of non-standard couples of angles. W Dans le quatrième chapitre, sur les mêmes variétés que précédemment, et pour certains angles de Liouville $\alpha$, nous montrons que l'adhérence lisse de la classe de conjugaison lisse et préservant le volume de la rotation $S_\alpha$ contient un difféomorphisme lisse et préservant le volume $T$ qui est métriquement isomorphe à une rotation irrationnelle du cercle $R_\beta$, avec $\alpha \not\eq \pm \beta$, et avec $\alpha$ et $\beta$ choisis rationnellement dépendants ou rationnellement indépendants. En particulier, l'anneau fermé $[0,1] \times \varmathbb{T}^1$ admet une pseudo-rotation lisse ergodique $T$ d'angle $\alpha$ qui est métriquement isomorphe à une rotation $R_\beta$.
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Dates et versions

tel-00741531 , version 1 (13-10-2012)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00741531 , version 1

Citer

Mostapha Benhenda. Estimates of the conjugacy to rotations of circle diffeomorphisms. Successives conjugacies and smooth realizations. Dynamical Systems [math.DS]. Université Paris-Nord - Paris XIII, 2012. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00741531⟩
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