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Theses Year : 2012

Functional limit laws for empirical processes and applications

Lois limites fonctionnelles pour le processus empirique et applications

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Abstract

In this thesis, we are concerned with nonparametric estimation of the density given a random sample. We establish asymptotic properties of density estimators by deducing them from functional limit laws for the local empirical process in a general context. The thesis is divided in two main parts, we describe as follows. The first part is devoted to local functional limit laws which are established for three sets of sequences of random functions, built from: the uniform empirical process, the uniform quantiles process and from the Kaplan-Meier empirical process. The functional laws are uniform relative to the increments size of the local empirical processes and describe the asymptotic behavior of the Hausdorff set-distance between each one of the three sets and a Strassen-type set. The purpose of the second part is nonparametric density estimation. We present several statistical applications of the previous functional limit laws, which consist on limit laws describing the asymptotic behavior of nonparametric density estimators, such as kernel estimators, the nearest-neighbor estimator, and kernel estimators of lifetime density and failure rate in a right censorship model. These applications are new sharp uniform-in-bandwidth limit laws for the last estimators in the framework of convergence in probability.
Nous nous intéressons dans cette thèse à l'estimation non paramétrique de la densité à partir d'un échantillon aléatoire. Nous établissons des propriétés limites d'estimateurs de densité en les déduisant de lois limites fonctionnelles pour le processus empirique local, qui sont démontrées dans un contexte général. L'exposé de thèse, comprenant deux parties, est construit de la manière suivante. La première partie porte sur des lois limites fonctionnelles locales. Elles sont établies pour trois ensembles de suites de fonctions aléatoires, construites à partir: du processus empirique uniforme, du processus empirique de quantiles uniforme et du processus empirique de Kaplan-Meier. Ces lois sont uniformes relativement à la taille des incréments de ces processus empiriques locaux et décrivent le comportement asymptotique de la distance de Hausdorff entre chacun de ces trois ensembles et un ensemble de type Strassen. La deuxième partie porte sur l'estimation non paramétrique de la densité. Nous présentons plusieurs applications des lois limites fonctionnelles locales établies précédemment. Ces résultats comportent, d'une part, la description de lois limites pour des estimateurs non paramétriques de la densité, comprenant les estimateurs à noyau et les estimateurs de la densité par la méthode des plus proches voisins, et d'autre part, des lois limites pour les estimateurs à noyau de la densité des temps de survie et du taux de panne dans un modèle de censure à droite. Ces lois limites ont la particularité d'être établies, dans le cadre de la convergence en probabilité, uniformément relativement aux paramètres de lissage des estimateurs considérés.
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Dates and versions

tel-00766805 , version 1 (19-12-2012)

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  • HAL Id : tel-00766805 , version 1

Cite

Sarah Ouadah. Lois limites fonctionnelles pour le processus empirique et applications. Statistiques [math.ST]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00766805⟩
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