Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion : version stochastique et edp - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Fractional model for subdiffusion: stochastic version and pde

Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion : version stochastique et edp

Résumé

This work aims to provide tools to compare experimental results with models for tracer dispersion in porous media, under the abnormal dispersion. Mobile Immobile Model (MIM) has been the source of significant progress in the description of transport in porous medium, especially in natural environments. This model generalizes the Equatio advection-dispersion (ADE), assuming that the particles of fluid, such as saline, can be immobilized (in relation to the solid matrix) and then released, trapping and release fol- efore more order kinetics one. Recently, a stochastic version of this model was proposed. Despite many successes for more than three decades, the MIM is unable to represent the evolution of the concentration of a tracer in some unsaturated porous media. Indeed, it is often observed that the concentration may decrease as a power of time, especially great time. This is incompatible with the original version of MIM. Assuming different kinetic trapping-release, some authors have proposed a fractional version of the "fractal MIM" (f-MIM). This is a class of partial differential equations (PDEs) that are unique to contain a variable related to the time integral operator. The solutions of this class of e. D.P. behave asymptotically like powers of the time, as did those of the Fokker-Planck fractional (FFPE). Our work is part of a project including tracer experiments and velocimetry Nuclear Magnetic Resonance (NMR) in the middle poreu unsaturated. As the MIM, the f-MIM is part of the models used to interpret such experiences. His version "edp" is adapted to the measured during tracer experiments, but is very useful for NMR velocimetry. In fact, it measures the characteristic function (Fourier transform) of displacement cements excited molecules. Our work provides an analysis tool for these experiments: it is an exact expression of the characteristic function of the displacement of the stochastic version of the model f-MIM, not to mention MIM and FFPE. These processes are obtained from Brownian motion (plus a convective term) with random time change. They also say that these processes are Brownian motion subordinated by weather changes that are themselves the inverse of non-decreasing Lévy process (the subordinators). The subordinators associated models f-MIM and FFPE are stable processes, subordinators associated MIM are composite Poisson process. Expérimenatux very recent results we suggested extending this to Lévy flights (more general than the Brownian motion) subordinates too. The link between e.d.p. fractional and stochastic models for the sub-diffusion has been the subject of numerous studies. We help detail this link showing the flow of fluid, emphasizing a situation unexamined we examine the case where the kinetic trapping-release is not the same in all areas. Assuming two different kinetics in two sub-domains, we get a version of the f-MIM with an integro-differential operator related to time, but depending on the position. These results are obtained by means of reasoning, and are illustrated by simulations using the discretization of integral and fractional e. Dp and the Monte Carlo method. These simulations are sort of digital evidence. Tools on which they rely are also presented.
Ce travail a pour but de proposer des outils visant à comparer des résultats expérimentaux avec des modèles pour la dispersion de traceur en milieu poreux, dans le cadre de la dispersion anormale. Le Mobile Immobile Model (MIM) a été à l'origine d'importants progrès dans la description du transport en milieu poreux, surtout dans les milieux naturels. Ce modèle généralise l'équatio d'advection-dispersion (ADE) en supposant que les particules de fluide, comme de soluté, peuvent être immobilisées (en relation avec la matrice solide) puis relâchées, le piégeage et le relargage sui- vant de plus une cinétique d'ordre un. Récemment, une version stochastique de ce modèle a été proposée. Malgré de nombreux succès pendant plus de trois décades, le MIM reste incapable de représenter l'évolution de la concentration d'un traceur dans certains milieux poreux insaturés. En effet, on observe souvent que la concentration peut décroître comme une puissance du temps, en particulier aux grands temps. Ceci est incompatible avec la version originale du MIM. En supposant une cinétique de piégeage-relargage différente, certains auteurs ont proposé une version fractionnaire, le "fractal MIM" (f-MIM). C'est une classe d'équations aux dérivées partielles (e.d.p.) qui ont la particularité de contenir un opérateur intégral lié à la variable temps. Les solutions de cette classe d'e.d.p. se comportent asymptotiquement comme des puissances du temps, comme d'ailleurs celles de l'équation de Fokker-Planck fractionnaire (FFPE). Notre travail fait partie d'un projet incluant des expériences de traçage et de vélocimétrie par Résonance Magnétique Nucléaire (RMN) en milieu poreu insaturé. Comme le MIM, le f-MIM fait partie des modèles servant à interpréter de telles expériences. Sa version "e.d.p." est adaptée aux grandeurs mesurées lors d'expériences de traçage, mais est peu utile pour la vélocimétrie RMN. En effet, elle mesure la fonction caractéristique (transformée de Fourier) de dépla- cements des molécules excitées. Notre travail propose un outil d'analyse pour ces expériences : il s'agit d'une expression exacte de la fonction caractéristique des déplacements de la version stochastique du modèle f-MIM, sans oublier les MIM et FFPE. Ces processus sont obtenus à partir du mouvement Brownien (plus un terme convectif) par des changement de temps aléatoires. On dit aussi que ces processus sont des mouvement Browniens, subordonnés par des changements de temps qui sont eux-même les inverses de processus de Lévy non décroissants (les subordinateurs). Les subordinateurs associés aux modèles f-MIM et FFPE sont des processus stables, les subordinateurs associés au MIM sont des processus de Poisson composites. Des résultats expérimenatux très récents on suggéré d'élargir ceci à des vols de Lévy (plus généraux que le mouvement Brownien) subordonnés aussi. Le lien entre les e.d.p. fractionnaires et les modèles stochastiques pour la sous-diffusion a fait l'objet de nombreux travaux. Nous contribuons à détailler ce lien en faisant apparaître les flux de soluté, en insistant sur une situation peu étudiée : nous examinons le cas où la cinétique de piégeage-relargage n'est pas la même dans tout le milieu. En supposant deux cinétiques différentes dans deux sous-domaines, nous obtenons une version du f-MIM avec un opérateur intégro-différentiel lié au temps, mais dépendant de la position. Ces résultats sont obtenus au moyen de raisonnements, et sont illustrés par des simulations utilisant la discrétisation d'intégrales fractionnaires et d'e.d.p. ainsi que la méthode de Monte Carlo. Ces simulations sont en quelque sorte des preuves numériques. Les outils sur lesquels elles s'appuient sont présentés aussi.
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Dates et versions

tel-00839892 , version 1 (01-07-2013)
tel-00839892 , version 2 (23-06-2014)

Identifiants

  • HAL Id : tel-00839892 , version 1

Citer

Solonjaka Hiarintsoa Rakotonasy. Modèle fractionnaire pour la sous-diffusion : version stochastique et edp. Mécanique statistique [cond-mat.stat-mech]. Université d'Avignon, 2012. Français. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00839892v1⟩
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