Domain decomposition and multi-scale computations of singularities in mechanical structures
Calcul multi-échelle de singularités et applications en mécanique de la rupture
Résumé
A major issue in fracture mechanics is to model the nucleation of a crack in a sound material. There are two difficulties: the first one is to propose a law able to predict that nucleation; the second is a purely numerical issue. It is indeed difficult to compute with a good accuracy all the mechanical quantities like the energy release rate associated with a crack of small length which appears at the tip of a notch. The classical finite element method leads to inaccurate results because of the overlap of two singularities which cannot be correctly captured by this method: one due to the tip of the notch, the other due to the tip of the crack. A specific method of approximation based on asymptotic expansions is preferable as it is developed in analog situations with localized defects. The first chapter of the thesis is devoted to the presentation of this Matched Asymptotic Method (shortly, the MAM) in the case of a defect (which includes the case of a crack) located at the tip of a notch in the simplified context of antiplane linear elasticity. The main goal of the thesis is to use these asymptotic methods to predict the nucleation or the propagation of defects (like cracks) near those singular points. The second chapter of the thesis will be devoted to this task. This requires, of course, to overcome the first issue by introducing a criterion for nucleation. This delicate issue has not received a definitive answer at the present time and it was considered for a long time as a problem which could not be solved in the framework of Griffith theory of fracture. The main invoked reason is that the release of energy due to a small crack tends to zero when the length of the crack tends to zero. Therefore, if one follows the Griffith criterion which stands that the crack can propagate only when the energy release rate reaches a critical value characteristic of the material, no nucleation is possible because the energy release rate vanishes when there is no preexisting crack. This "drawback" of Griffith's theory was one of the motivations which led Francfort and Marigo to replace the Griffith criterion by a principle of least energy. It turns out that this principle of global minimization of the energy is really able to predict the nucleation of cracks in a sound body. However, the nucleation is necessarily brutal in the sense that a crack of finite length suddenly appears at a critical loading. Moreover the system has to cross over an energy barrier which can be high when the minimum is "far". Another way to overcome the issue of the crack nucleation is to leave the pure Griffith setting by considering cohesive cracks. Indeed, since any cohesive force model contains a critical stress, it becomes possible to nucleate crack without invoking global energy minimization. Accordingly, we propose to revisit the problem of nucleation of a crack at the tip of a notch by comparing the three criteria. One of our goal is to use the MAM to obtain semi-analytical expressions for the critical loading at which a crack appears and the length of the nucleated crack. Specifically, the thesis is organized as follows. Chapter 1 is devoted to the description of the MAM on a generic anti-plane linear elastic problem where the body contains a defect near the tip of a notch. We first decompose the solution into two expansions: one, the outer expansion, valid far enough from the tip of the notch, the other, the inner expansion, valid in a neighborhood of the tip of the notch. These expansions contain a sequence of inner and outer terms which are solutions of inner and outer problems and which are interdependent by the matching conditions. Moreover each term contains a regular and a singular part. We explain how all the terms and the coefficients entering in their singular and regular parts are sequentially determined. The chapter finishes by an example where the exact solution is obtained in a closed form and hence where we can verify the relevance of the MAM. In Chapter 2, the MAM is applied to the case where the defect is a crack. Its main goal is to compute with a good accuracy the energy release rate associated with a crack of small length near the tip of the notch. Indeed, it is a real issue in the case of a genuine notch (by opposition to a crack) because the energy release rate starts from 0 when the length of the nucleated crack is 0, then is rapidly increasing with the length of the crack before reaching a maximum and finally is decreasing. Accordingly, after the setting of the problem, one first explains how one computes the energy release rate by the FEM and why the numerical results are less accurate when the crack length is small. Then, one uses the MAM to compute the energy release rate for small values of the crack length and one shows, as it was expected, that the smaller the size of the defect, the more accurate is the approximation by the MAM at a certain order. It even appears that one can obtain very accurate results by computing a small number of terms in the matched asymptotic expansions. We discuss also the influence of the angle of the notch on the accuracy of the results, this angle playing an important role in the process of nucleation (because, in particular, the length at which the maximum of the energy release rate is reached depends on the angle of the notch). It turns out that when the notch is sufficiently sharp, i.e. sufficiently close to a crack, it suffices to calculate the first two non trivial terms of the expansion of the energy release rate to capture with a very good accuracy the dependence of the energy release rate on the crack length. Then a cohesive model, the so-called Dugdale model, is considered in the last section of the chapter. Combining the MAM with the G method allows us to calculate in an almost closed form the nucleation and the evolution of the crack, namely the relations between the external load and the lengths of the non-cohesive zone and the cohesive zone. Specifically, it turns out that the inner problem can be seen as an Hilbert problem which can be solved with the help of complex potentials. Thus, the access to the solution is reduced to a few quadratures which are computed numerically. One obtains so an analytical expression of the critical load at which a "macroscopic" crack will appear in the body after an unstable stage of propagation of the nucleated crack. The order of magnitude of that critical load is directly associated with the power of the singularity of the solution before nucleation which is itself a known function of the angle of the notch. Chapter 3 proposes a generalization of all the previous results in the plane elasticity setting. Specifically, the goal is still to study the nucleation of non cohesive or cohesive cracks at the angle of a notch in the case of a linearly elastic isotropic material but now by considering plane displacements. Moreover, we will consider as well pure mode I situation as mixed modes cases. In the first part of the chapter we use the global minimization principle in the case of a non cohesive crack. In the second part we consider Dugdale cohesive force model. In both cases the MAM is used to compensate the non accuracy of the finite element method. All the derived results can be seen as simple generalizations of those developed in the antiplane case. Indeed, from a conceptual and qualitative viewpoint, we obtain essentially the same types of properties. However, from a technical point of view, the MAM is more difficult to apply in plane elasticity because the sequence of singularities can be obtained only by solving transcendental equations. Therefore, the numerical procedure becomes more expansive. Moreover, from the analytical point of view, the calculations become much more intricate and consequently a part of these calculations are given in the appendix.
Un enjeu majeur de mécanique de la rupture est de modéliser l'initiation d'une fissure dans une structure saine. Il y a deux difficultés: la première est de proposer une loi capable de prédire la nucléation, la seconde est d'ordre purement numérique. En ce qui concerne ce deuxième point, il est en effet difficile de calculer avec une bonne précision toute quantité comme le taux de restitution d'énergie associée à une fissure de faible longueur qui apparaît en fond d'entaille. La méthode des éléments finis classique conduit à des résultats inexacts en raison de la superposition de deux singularités (l'une due à l'entaille, l'autre à la pointe de la fissure) qui ne peuvent être correctement capturées par cette méthode. Une méthode spécifique d'approximation basée sur des développements asymptotiques est préférable comment il a déjà été constaté dans des situations analogues présentant des défauts localisés. Le premier chapitre de la thèse est consacré à la présentation de cette méthode asymptotique dite Méthode des Développements Asymptotiques Raccordés (MAM) dans le cas d'un défaut (ce qui inclut le cas d'une fissure) situé à l'extrémité d'une entaille. Cette première étude est faite dans le cadre simplifié de l'élasticité linéaire antiplane avant d'être étendue à l'élasticité plane dans le troisième chapitre. Un objectif majeur est d'utiliser cette méthode asymptotique pour prédire la nucléation ou la propagation d'une fissure à proximité d'un point singulier. Le deuxième chapitre de la thèse sera consacré à cette tâche. Cela nécessite, bien sûr, de lever la première difficulté en proposant un critère de nucléation physiquement raisonnable. Cette délicate question n'a pas reçu de réponse définitive à l'heure actuelle et a été considérée pendant longtemps comme un problème qui ne pouvait être résolu dans le cadre de la théorie de Griffith. La principale raison invoquée est que le taux de restitution de l'énergie dû à une petite fissure tend vers zéro lorsque la longueur de la fissure tend vers zéro. Par conséquent, si l'on suit le critère de Griffith qui stipule que la fissure peut se propager que lorsque le taux de libération d'énergie atteint une valeur caractéristique du matériau, il n'y a pas de nucléation possible. Ce "défaut" de la théorie de Griffith fut l'une des motivations qui conduit Francfort et Marigo à remplacer le critère de Griffith par un principe de minimisation de l'énergie. Il s'avère que ce principe de minimum global de l'énergie est vraiment en mesure de prédire la nucléation des fissures dans un corps sain. Cependant, la nucléation est nécessairement brutale dans le sens où une fissure de longueur finie apparaît brutalement à une charge critique et de plus il faut que le système franchisse une barrière d'énergie qui peut être d'autant plus haute que le minimum est "loin". Une autre façon de rendre compte de la nucléation de fissures est de quitter le cadre de la théorie de Griffith en introduisant le concept de forces cohésives. L'intérêt d'une telle approche est qu'elle contient automatiquement la notion de contrainte critique qui permet de régir naturellement la nucléation sans passer par le principe de minimisation globale de l'énergie. En résumé, nous proposons de traiter le problème de la nucléation d'une fissure à la pointe d'une entaille de trois façons et de comparer les trois critères correspondants. L'un de nos objectifs est aussi d'utiliser la MAM pour obtenir des expressions semi-analytiques pour la charge critique à partir de laquelle une fissure apparaît ainsi que la longueur de la fissure une fois nucléée. De façon précise, la thèse est organisée comme suit. Le chapitre 1 est consacré à la description de la MAM sur un problème générique d'élasticité linéaire antiplane où la structure contient un défaut situé au voisinage de la pointe d'une entaille. Nous avons d'abord décomposé la solution en deux développements: l'un, le développement extérieur, valable assez loin de la pointe de l'entaille, l'autre, le développement intérieur, valable au voisinage de la pointe de l'entaille. Ces développements contiennent une séquence de termes "intérieurs" et "exterieurs" qui sont solutions de problèmes "intérieurs" et "extérieurs" reliés les uns aux autres par des conditions de raccord. En outre, chaque terme contient une partie régulière et une partie singulière. Nous expliquons ensuite comment tous les termes et les 4 coefficients qui entrent dans les parties singulières et régulières sont déterminés séquentiellement. Le chapitre se termine par un exemple où la solution exacte est connue et peut donc être développée directement avant d'être comparée à celle fournie par la MAM. Dans le chapitre 2, laMAMest appliquée au cas où le défaut est une fissure. Le premier objectif est de calculer avec une bonne précision le taux de restitution d'énergie associée à une fissure non cohésive de faible longueur située près de la pointe de l'entaille. En effet, il s'agit d'un véritable problème dans le cas où l'entaille n'est elle-même pas une fissure parce que le taux de restitution d'énergie est voisin de 0 lorsque la longueur de la fissure nucléée est voisine de 0, puis augmente rapidement avec la longueur de la fissure avant d'atteindre un maximum pour finalement redécroître. On explique d'abord comment le taux de restitution d'énergie est calculé par la Méthode des Elémenst Finis et pourquoi les résultats numériques sont moins précis lorsque la longueur de la fissure est faible. Ensuite, on utilise la MAM pour calculer le taux de restitution d'énergie pour les petites valeurs de la longueur de la fissure et on montre, comme il était prévu, que plus la taille de la fissure est petite, plus le résultat fourni par la MAM à un ordre donné est précis. Il s'avère même que l'on peut obtenir des résultats très précis en calculant seulement un petit nombre de termes. Nous discutons aussi de l'influence de l'angle de l'entaille sur l'exactitude des résultats. Cet angle joue un rôle important dans le processus de nucléation (parce que, en particulier, la longueur à partir de laquelle le maximum du taux de restitution d'énergie est atteinte dépend de l'angle de l'entaille). Lorsque l'angle de l'entaille est suffisamment grand, il suffit de calculer les deux premiers termes non triviaux du développement du taux de restitution d'énergie pour obtenir avec une très bonne précision la dépendance du taux de restitution d'énergie avec la longueur de fissure. Nous considérons ensuite le cas des fissures cohésives en introduisant le modèle de forces cohésives de Dugdale. En combinant la MAM avec la méthode G , nous obtenons un système de deux équations non linéaires couplées régissant l'évolution des longueurs de la zone non-cohésive et la zone cohésive en fonction du chargement. Il s'avère que le problème intérieur fourni par la MAM est un problème de Hilbert qui peut être résolu par la méthode des potentiels complexes. Ce faisant, la résolution se ramène à de simples quadratures qui sont calculées numériquement. On obtient ainsi, de façon quasiment analytique, la charge critique à partir de laquelle la petite fissure se propage de façon instable pour donner lieu à une fissure "macroscopique". En particulier, l'ordre de grandeur de cette charge critique est directement relié à l'exposant de la singularité de la solution avant fissuration qui est lui-même fonction de l'angle de l'entaille. Le chapitre 3 propose une généralisation de toutes les méthodes et résultats précédents au cas de l'élasticité plane. De façon précise, le but est toujours d'étudier la nucléation de fissures cohésives ou non cohésives à l'angle d'une entaille dans un milieu linéairement élastique et isotrope, mais maintenant en considérant des déplacements plans. De plus, il s'agit de traiter les conditions de nucléation aussi bien sous mode I pur que sous mode mixte. Dans la première partie du chapitre, nous utilisons le principe de minimisation globale pour traiter le cas des fissures non cohésives, alors que dans la deuxième partie nous utilisons le modèle de Dugdale pour traiter le cas des fissures cohésives. Dans les deux cas, la MAM est mise en oeuvre pour pallier le manque de précision de la méthode des éléments finis. Tous les résultats qui sont obtenus peuvent être considérés comme de simples généralisations de ceux développés dans le cas antiplan. En effet, d'un point de vue conceptuel et qualitatif, nous obtenons essentiellement le même type de propriétés. Toutefois, d'un point de vue technique, la MAM est plus délicate d'application en élasticité plane parce que l'obtention de la suite des fonctions singulières passe par la résolution d'équations transcendantes. Ce faisant, la mise en oeuvre numérique est sensiblement plus coûteuse. De plus, d'un point de vue analytique, les calculs et les démonstartions sont beaucoup plus lourds et une partie est donc passée en annexe.
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