Vanishing theorems and structure theorems on compact kähler manifolds
Théorèmes d'annulation et théorèmes de structure sur les variétés kähleriennes compactes
Résumé
The aim of this thesis is to generalize a certain number of results of algebraic geometry to Kähler geometry. We first generalize the Nadel vanishing theorem to arbitrary compact Kähler manifolds. We prove also a particular version of the Kawamata-Viehweg vanishing theorem for manifolds admitting a fibration to a torus such that the generic fiber is projective. Using this result, we study the theory of deformations of compact Kähler manifolds under certain assumptions on their canonical bundles. Finally, we study varieties with nef anticanonical bundles. We prove that the slopes of the Harder-Narasimhan filtration of the tangent bundles with respect to a polarization of the form $\omega_X^{n-1}$ are semi-positive. As an application, we give a simple proof of the surjectivity of the Albanese map, and we investigate also its local triviality.
L'objet principal de cette thèse est de généraliser un certain nombre de résultats bien connus de la géométrie algébrique au cas kählerien non nécessairement projectif. On généralise d'abord le théorème d'annulation de Nadel au cas kählerien arbitraire. On obtient aussi un cas particulier du théorème d'annulation de Kawamata-Viehweg pour les variétés qui admettent une fibration vers un tore dont la fibre générique est projective. En utilisant ce résultat, on étudie le problème de déformation pour les variétés kählériennes compactes sous une hypothèse portant sur leurs fibrés canoniques. On étudie enfin les variétés à fibré anticonique nef. On montre que si le fibré anticanonique est nef, alors le fibré tangent est à pentes semi-positif relative à la filtration de Harder-Narasimhan pour la polarization $\omega_X ^{n-1}$. Comme application, on donne une preuve simple de la surjectivité de l'application d'Albanese, et on étudie aussi la trivialité locale de l'application d'Albanese.