Spectrum of Sublaplacians on Strictly Pseudoconvex CR Manifolds - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2012

Spectrum of Sublaplacians on Strictly Pseudoconvex CR Manifolds

Le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexes

Résumé

The purpose of this thesis is to study the spectrum of sublaplacians on compact strictly pseudoconvex CR manifolds. We prove the discreteness of the Dirichlet spectrum of the sublaplacian $\Delta_b$ on a smoothly bounded domain $\Omega \subset M$ in a strictly pseudoconvex CR manifold M satisfying Poincaré inequality. We study the behavior of the eigenvalues of a sublaplacian $\Delta_b$ on a compact strictly pseudoconvex CR manifold $M$, as functions on the set ${\mathcal P}_+$ of positively oriented contact forms on $M$ by endowing ${\mathcal P}_+$ with a natural metric topology. We establish inequalities for the eigenvalues of $\Delta_b$ on compact strictly pseudoconvex CR manifolds (possibly with nonempty boundary) %$C^2$ semi-isometric maps into a Euclidean space or a Heisenberg group. Our estimates extend those obtained by P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} for the Dirichlet eigenvalues of the sublaplacian on a bounded domain in the Heisenberg group, in the spirit of Payne-P\'{o}lya -Weinberger and Yang inequalities. We establish a new lower bound on the first nonzero eigenvalue $\lambda_1 (\theta )$ of the sublaplacian $\Delta_b$ on a compact strictly pseudoconvex CR manifold $M$ carrying a contact form $\theta$ whose Tanaka-Webster connection has Ricci curvature bounded from below.
Le but de cette thèse est d'étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement peusdoconvexes. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien $\Delta_b$ est discret sur un domaine borné $\Omega \subset M$ d'une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l'inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$, en tant que fonctionnelle sur l'espace ${\mathcal P}_+$ de formes de contact positivement orientées sur $M$ en dotant ${\mathcal P}_+$ d'une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de $\Delta_b$ sur des variétés CR strictement pseudoconvexes ( éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats obtenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l'esprit des inégalités de Payne-P\'{o}lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle $\lambda_1 (\theta )$ du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$ munie d'une forme de contact $\theta$ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.
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Dates et versions

tel-00960234 , version 1 (17-03-2014)

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  • HAL Id : tel-00960234 , version 1

Citer

Amine Aribi. Spectrum of Sublaplacians on Strictly Pseudoconvex CR Manifolds. Differential Geometry [math.DG]. Université François Rabelais - Tours, 2012. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-00960234⟩
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