Décomposition de domaine pour des systèmes issus des équations de Navier-Stokes
Résumé
This work is focused on coupling issues in the context of oceanography and hydraulics. Numerous models are frequently used for such applications, like Navier-Stokes, primitive equations, or shallow water models. We chose to work on Schwarz methods, which are non intrusive wrt numerical codes. We worked first on Navier-Stokes equations, with two possible discretizations: a projection method, where velocity and pressure are computed in two separated steps, and a coupled scheme where all unknowns are computed at once. At each time step, a Stokes equation has to be solved, for which different interface conditions were considered (Dirichlet, exact and approximate absorbing conditions...). The convergence of the Schwarz algorithm was analyzed, and tested numerically in the driven cavity test case. These conditions have then been extended, without numerical experiments, to companion equations, namely Oseen equations (i.e. linearized Navier Stokes), and hydrostatic Navier-Stokes equations (in the perspective of a coupling with Navier-Stokes).
Le cadre général de ce travail est l'étude des problématiques de couplage de modèles dans le contexte applicatif de l'hydraulique et de l'océanographie. Ce sont des domaines dans lesquels les besoins sont nombreux, utilisant une vaste gamme de modèles tels que les équations de Navier-Stokes, de Saint-Venant ou des modèles intermédiaires tels que les équations primitives ou de Navier-Stokes hydrostatiques. Pour aborder ces questions de couplage, on a choisi d'utiliser les méthodes de Schwarz, pour leur caractère non-intrusif vis-à-vis des codes de calcul. On a travaillé tout d'abord sur les équations de Navier-Stokes, en envisageant deux discrétisations : une méthode de projection où la vitesse et la pression sont calculées dans deux étapes différentes, et un schéma couplé où toutes les inconnues sont calculées lors de la même étape. À chaque pas de temps, on est ramené à une équation de Stokes, pour laquelle différents opérateurs d'interface ont été considérés (Dirichlet, absorbants exacts et approchés...). La convergence de la méthode de Schwarz a été étudiée et testée numériquement dans la configuration classique de la cavité entraînée. Ces conditions ont ensuite été étendues, sans être testées numériquement, à des équations proches des équations de Navier-Stokes, à savoir dans un premier temps aux équations d'Oseen (qui sont une version linéarisée des équations de Navier-Stokes), et dans un deuxième temps en vue d'un couplage entre les équations de Navier-Stokes et les équations de Navier-Stokes hydrostatiques.
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