Une ballade en forêts aléatoires - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Hdr Année : 2014

Hiking in random forests

Une ballade en forêts aléatoires

Viet Chi Tran

Résumé

This thesis contains three parts. The first chapter considers individual-centered models of structured populations, where the individual dynamics (reproductions, competitions, deaths and aging) depend on the past, either through individuals' ages or through their ancestral lineages, and on herediraty convariates, called traits, that are transmitted from parent to offspring unless mutations occur. In large populations, the random measure-valued processes describing these populations can be approximated by solutions of PDEs or by diffusive processes, given the time-scales involved. In the second case, averaging phenomena are observed for the aging. Martingale methods introduced by Kurtz are used to separate the slow and fast time-scales, thus answering questions tackled among others by Dynkin, Kaj and coauthors... but unanswered in the cases studied here. To describe the evolution of the genealogies, historical births and deaths processes, à la Dawson et Perkins, are introduced. Their superprocess limits are studied. The distribution of the ancestral lineage of an individual chosen randomly at a given time is difficult to characterise. In the case without interaction, we can however answer this question by using many-to-one formulas that exhibit biases. An application to multi-level models is considered. The second part of this chapter focuses on two models of population genetics, with demography and randomness. In the first model, we study how the neutral diversity is affected by selection and adapation in an eco-evolutionary framework. This sheds a new light on the phylogenies that can be reconstructed from the genetical polymorphism observed at a given time. The second model considers populations with self-incompatible reproduction systems (such as some flower populations), leading to the study of inhomogeneous random walks on the quarter plane and absorbed at the boundary. In chapter two, probabilistic and statistical models for epidemiology are presented. The questions are motivated by the HIV-AIDS data collected between 1986 and 2006 in Cuba by contact-tracing. Statistical estimation, to compare for instance the relative efficiencies of different detection methods, is made difficult as infectious but non-detected individuals are unobserved. A Bayesian technique called ABC is well suited for our problem and for size of our database. The infection and detection graphs are also partially observed (5,389 vertices linked by 4,073 edges, with a giant component of 2,386 vertices and 3,168 edges, which is unique in the literature on AIDS). The statistical study of this graph and its community structure obtained by clustering methods are shown. From a more probabilistic point of view, limit theorems linked with disease propagating on large random graphs with fixed degree distributions are established. This provides three measure-valued equations to describe important degree distributions underlying the propagation, and gives a rigorous proof of the ODEs proposed by Volz. The third chapter describes two contributions in stochastic geometry. The first one deals with the approximation of the Vorob'ev expectation of random sets. The second one is motivated by the study of the Radial Spanning Tree (RST) and of the Directed Spanning Forest (DSF) introduced by Baccelli and Bordenave. These objects exhibit complex dependencies that prevent the use of classical techniques based on martingales, for instance. To show that the DSF is a tree without bi-infinite path or to study the geodesics and interfaces of the RST and show that it admits 1, 2, 3, 4 or 5 subtrees rooted at the origin with positive probability, arguments from geometry or percolation are used.
Cette habilitation contient trois parties. Le premier chapitre s'intéresse à modèles individu-centrés de populations structurées, où les dynamiques individuelles (reproductions, compétitions, morts, vieillissement) sont supposées dépendre du passé, au travers des âges des individus ou de leurs lignées ancestrales, et de covariables héréditaires (sauf lorsqu'il y a mutation), appelées traits. En grandes populations, les processus aléatoires à valeurs mesures décrivant ces populations peuvent être approchés par des solutions d'EDP ou par des processus diffusifs, suivant les échelles de temps en jeu. Dans ce deuxième cas de figure, des phénomènes d'homogénéisation se produisent pour le vieillissement. Des méthodes de martingales introduites par Kurtz sont utilisées pour séparer échelles de temps lentes et rapides, répondant ainsi à des questions étudiées entre autres par Dynkin, Kaj et ses co-auteurs... mais non résolues dans les cas considérés ici. Pour décrire l'évolution des généalogies, des processus de naissances et morts historiques, au sens de Dawson et Perkins, sont proposés et nous en étudions les limites super-processus. La loi de la trajectoire ancestrale d'un individu tiré au hasard à un instant donné est difficile à décrire. Dans le cas sans interaction, nous pouvons répondre à cette question, en utilisant des représentations 'many-to-one', mettant en évidence des phénomènes de biais. Une application pour les modèles multi-niveaux est considérée. La seconde partie de ce chapitre s'intéresse à l'introduction de démographie et d'aléa dans deux modèles de génétique des populations. Un premier modèle, pour expliquer la génération et le maintien de la diversité neutre en présence de traits sous sélection, nous apporte un éclairage nouveau sur les phylogénies qu'il est possible de reconstruire à partir du polymorphisme génétique observé à un temps donné. Ensuite, une étude de populations possédant des systèmes de reproduction auto-incompatibles (par exemple les plantes à fleurs) est exposée, amenant à des problèmes de marches aléatoires non homogènes sur le quart de plan positif et absorbées sur la frontière. Dans le second chapitre, nous présentons des modèles probabilistes et statistiques pour l'épidémiologie, motivés par les données collectées entre 1986 et 2006 à Cuba par le système de contact-tracing pour le SIDA. L'estimation statistique, par exemple pour évaluer les efficacités respectives de différents modes de dépistage, est rendue difficile par le fait que les personnes infectieuses non dépistées sont inobservées. L'ABC, une méthode bayésienne, apparaît comme adaptée au problème et au format et à la taille des données. Nous avons également une observation partielle des graphes d'infections et de détections pour Cuba (5389 noeuds reliés par 4073 arêtes, avec une composante géante de 2386 noeuds et 3168 arêtes, ce qui est unique dans la littérature sur le SIDA). L'étude statistique de ce graphe et la mise en évidence de communautés par des méthodes de 'clustering' ont été réalisées. D'un point de vue plus probabiliste, des théorèmes limites liés aux épidémies se propageant sur des grands graphes aléatoires de distributions de degrés données sont établis, fournissant trois équations à valeurs mesures pour décrire les distributions de degrés sous-jacentes au problème, et justifiant ainsi rigoureusement les EDO proposées par Volz qui ont eu un écho important dans le domaine. Le troisième chapitre décrit deux contributions en géométrie aléatoire. La première concerne l'approximation de l'espérance de Vorob'ev d'ensembles aléatoires. La seconde est motivée par l'étude du 'Radial Spanning Tree' (RST) et de la 'Directed Spanning Forest' (DSF) introduits par Baccelli et Bordenave. Ces objets exhibent des structures de dépendance complexes qui empêchent l'utilisation des techniques classiques fondées sur les martingales, par exemple. Pour montrer que la DSF est un arbre sans chemin bi-infini, ou pour étudier les géodésiques et les interfaces du RST et montrer qu'il admet avec probabilités strictement positives 1, 2, 3, 4 ou 5 sous-arbres enracinés en l'origine, des arguments géométriques ou venant de la percolation sont invoqués.
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tel-01087229 , version 1 (25-11-2014)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01087229 , version 1

Citer

Viet Chi Tran. Une ballade en forêts aléatoires : Théorèmes limites pour des populations structurées et leurs généalogies, étude probabiliste et statistique de modèles SIR en épidémiologie, contributions à la géométrie aléatoire. Probabilités [math.PR]. Université Lille 1, 2014. ⟨tel-01087229⟩
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