Solving multi-homogeneous and determinantal systems: algorithms, complexity, applications. - TEL - Thèses en ligne Access content directly
Theses Year : 2012

Solving multi-homogeneous and determinantal systems: algorithms, complexity, applications.

Résolution de systèmes multi-homogènes et déterminantiels : algorithmes, complexité, applications.

Pierre-Jean Spaenlehauer

Abstract

Multivariate polynomial systems arising in Engineering Science often carry algebraic structures related to the problems they stem from. In particular, multi-homogeneous, determinantal structures and boolean systems can be met in a wide range of applications. A classical method to solve polynomial systems is to compute a Gröbner basis of the ideal associated to the system. This thesis provides new tools for solving such structured systems in the context of Gröbner basis algorithms. On the one hand, these tools bring forth new bounds on the complexity of the computation of Gröbner bases of several families of structured systems (bilinear systems, determinantal systems, critical point systems, boolean systems). In particular, it allows the identification of families of systems for which the complexity of the computation is polynomial in the number of solutions. On the other hand, this thesis provides new algorithms which take profit of these algebraic structures for improving the efficiency of the Gröbner basis computation and of the whole solving process (multi-homogeneous systems, boolean systems). These results are illustrated by applications in cryptology (cryptanalysis of MinRank), in optimization and in effective real geometry (critical point systems).
De nombreux systèmes polynomiaux multivariés apparaissant en Sciences de l'Ingénieur possèdent une structure algébrique spécifique. En particulier, les structures multi-homogènes, déterminantielles et les systèmes booléens apparaissent dans une variété d'applications. Une méthode classique pour résoudre des systèmes polynomiaux passe par le calcul d'une base de Gröbner de l'idéal associé au système. Cette thèse présente de nouveaux outils pour la résolution de tels systèmes structurés. D'une part, ces outils permettent d'obtenir sous des hypothèses de généricité des bornes de complexité du calcul de base de Gröbner de plusieurs familles de systèmes polynomiaux structurés (systèmes bilinéaires, systèmes déterminantiels, systèmes définissant des points critiques, systèmes booléens). Ceci permet d'identifier des familles de systèmes pour lequels la complexité arithmétique de résolution est polynomiale en le nombre de solutions. D'autre part, cette thèse propose de nouveaux algorithmes qui exploitent ces structures algébriques pour améliorer l'efficacité du calcul de base de Gröbner et de la résolution (systèmes multi-homogènes, systèmes booléens). Ces résultats sont illustrés par des applications concrètes en cryptologie (cryptanalyse des systèmes MinRank et ASC), en optimisation et en géométrie réelle effective (calcul de points critiques).
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tel-01110756 , version 1 (28-01-2015)

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  • HAL Id : tel-01110756 , version 1

Cite

Pierre-Jean Spaenlehauer. Solving multi-homogeneous and determinantal systems: algorithms, complexity, applications.. Symbolic Computation [cs.SC]. Université Pierre et Marie Curie (Univ. Paris 6), 2012. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01110756⟩
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