Solving multi-homogeneous and determinantal systems: algorithms, complexity, applications.
Résolution de systèmes multi-homogènes et déterminantiels : algorithmes, complexité, applications.
Résumé
Multivariate polynomial systems arising in Engineering Science often carry
algebraic structures related to the problems they stem from. In
particular, multi-homogeneous, determinantal structures and boolean
systems can be met in a wide range of applications.
A classical method to solve polynomial systems is to compute a Gröbner basis of
the ideal associated to the system. This thesis provides new tools for
solving such structured systems in the context of Gröbner basis algorithms.
On the one hand, these tools bring forth new bounds on the complexity of the
computation of Gröbner bases of several families of structured systems
(bilinear systems, determinantal systems, critical point systems,
boolean systems). In particular, it allows the identification of families of
systems for which the complexity of the computation is polynomial in
the number of solutions.
On the other hand, this thesis provides new algorithms which take
profit of these algebraic structures for improving the efficiency of
the Gröbner basis computation and of the whole solving process
(multi-homogeneous systems, boolean systems). These results are
illustrated by applications in cryptology (cryptanalysis of MinRank),
in optimization and in effective real geometry (critical point
systems).
De nombreux systèmes polynomiaux multivariés apparaissant en Sciences
de l'Ingénieur possèdent une structure algébrique spécifique. En
particulier, les structures multi-homogènes, déterminantielles et les
systèmes booléens apparaissent dans une variété d'applications.
Une méthode classique pour résoudre des systèmes polynomiaux
passe par le calcul d'une base de Gröbner de l'idéal associé au
système.
Cette thèse présente de nouveaux outils pour la résolution de tels
systèmes structurés.
D'une part, ces outils permettent d'obtenir sous
des hypothèses de généricité des bornes de complexité du calcul de
base de Gröbner de plusieurs familles de systèmes polynomiaux
structurés (systèmes bilinéaires, systèmes déterminantiels, systèmes
définissant des points critiques, systèmes booléens). Ceci permet
d'identifier des familles de systèmes pour lequels la complexité
arithmétique de résolution est polynomiale en le nombre de
solutions.
D'autre part, cette thèse propose de nouveaux algorithmes
qui exploitent ces structures algébriques pour améliorer
l'efficacité du calcul de base de Gröbner et de la résolution
(systèmes multi-homogènes, systèmes booléens). Ces résultats sont
illustrés par des applications concrètes en cryptologie (cryptanalyse
des systèmes MinRank et ASC), en optimisation et en géométrie réelle
effective (calcul de points critiques).
Domaines
Calcul formel [cs.SC]
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