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Theses Year : 2013

Solving Polynomial Systems over Finite Fields: Algorithms, Implementation and Applications

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1
Chenqi Mou
  • Function : Author
  • PersonId : 926190

Abstract

Polynomial system solving over finite fields is of particular interest because of its applications in Cryptography, Coding Theory, and other areas of information science and technologies. In this thesis we study several important theoretical and computational aspects for solving polynomial systems over finite fields, in particular on the two widely used tools Gröbner bases and triangular sets. We propose efficient algorithms for change of ordering of Gröbner bases of zero-dimensional ideals by using the sparsity of multiplication matrices and evaluate such sparsity for generic polynomial systems. Original algorithms are presented for decomposing polynomial sets into simple triangular sets over finite fields. We also define squarefree decomposition and factorization of polynomials over unmixed products of field extensions and propose algorithms for computing them. The effectiveness and efficiency of these algorithms have been verified by experiments with our implementations. Methods for polynomial system solving over finite fields are also applied to solve practical problems arising from Biology and Coding Theory.
Résolution de systèmes polynomiaux sur les corps finis est d’un intérêt particulier en raison de ses applications en Cryptographie, Théorie du Codage, et d’autres domaines de la science de l’information. Dans cette thèse, nous étudions plusieurs aspects importants théoriques et informatiques pour résolution de systèmes polynomiaux sur les corps finis, en particulier sur les deux outils largement utiliss: bases de Gröbner et ensembles triangulaires. Nous proposons des algorithmes efficaces pour le changement de l’ordre des bases de Gröbner d’idéaux de dimension zéro en utilisant le faible densité des matrices de multiplication et d’évaluer telle faible densité pour les systèmes de polynômes génériques. Algorithmes originaux sont présentés pour la décomposition des ensembles de polynômes en ensembles triangulaires simples sur les corps finis. Nous définissons également décomposition sans carré et factorisation des polynômes sur produits non mélangés d’extensions des corps et proposons des lgorithmes pour les calculer. L’efficacité et l’efficience de ces algorithmes ont été vérifiées par des expériences avec nos implémentations. Méthodes de résolution de systèmes polynomiaux sur les corps finis sont également appliquées pour résoudre les problèmes pratiques posés par la Biologie et la Théorie du Codage.
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Dates and versions

tel-01110887 , version 1 (29-01-2015)

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  • HAL Id : tel-01110887 , version 1

Cite

Chenqi Mou. Solving Polynomial Systems over Finite Fields: Algorithms, Implementation and Applications. Symbolic Computation [cs.SC]. Université Pierre et Marie Curie, 2013. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01110887⟩
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