Lattice - Based Cryptography - Security Foundations and Constructions
Cryptographie reposant sur les réseaux Euclidiens - Fondations de sécurité et Constructions
Résumé
Lattice-based cryptography is a branch of cryptography exploiting the presumed hardness of some well-known problems on lattices. Its main advantages are its simplicity, efficiency, and apparent security against quantum computers. The principle of the security proofs in lattice-based cryptography is to show that attacking a given scheme is at least as hard as solving a particular problem, as the Learning with Errors problem (LWE) or the Small Integer Solution problem (SIS). Then, by showing that those two problems are at least as hard to solve than a hard problem on lattices, presumed polynomial time intractable, we conclude that the constructed scheme is secure.In this thesis, we improve the foundation of the security proofs and build new cryptographic schemes. We study the hardness of the SIS and LWE problems, and of some of their variants on integer rings of cyclotomic fields and on modules on those rings. We show that there is a classical hardness proof for the LWE problem (Regev's prior reduction was quantum), and that the module variants of SIS and LWE are also hard to solve. We also give two new lattice-based group signature schemes, with security based on SIS and LWE. One is the first lattice-based group signature with logarithmic signature size in the number of users. And the other construction allows another functionality, verifier-local revocation. Finally, we improve the size of some parameters in the work on cryptographic multilinear maps of Garg, Gentry and Halevi in 2013.
La cryptographie reposant sur les réseaux Euclidiens est une branche récente de la cryptographie dans laquelle la sécurité des primitives repose sur la difficulté présumée de certains problèmes bien connus dans les réseaux Euclidiens. Le principe de ces preuves est de montrer que réussir une attaque contre une primitive est au moins aussi difficile que de résoudre un problème particulier, comme le problème Learning With Errors (LWE) ou le problème Small Integer Solution (SIS). En montrant que ces problèmes sont au moins aussi difficiles à résoudre qu'un problème difficile portant sur les réseaux, présumé insoluble en temps polynomial, on en conclu que les primitives construites sont sûres. Nous avons travaillé sur l'amélioration de la sécurité et des constructions de primitives cryptographiques. Nous avons étudié la difficulté des problèmes SIS et LWE et de leurs variantes structurées sur les anneaux d'entiers de corps cyclotomiques, et les modules libres sur ceux-ci. Nous avons montré d'une part qu'il existe une preuve de difficulté classique pour le problème LWE (la réduction existante de Regev en 2005 était quantique), d'autre part que les variantes sur les modules sont elles-aussi difficiles. Nous avons aussi proposé deux nouvelles variantes de signatures de groupe dont la sécurité repose sur SIS et LWE. L'une est la première reposant sur les réseaux et ayant une taille et une complexité poly-logarithmique en le nombre d'utilisateurs. La seconde construction permet de plus la révocation d'un membre du groupe. Enfin, nous avons amélioré la taille de certains paramètres dans le travail sur les applications multilinéaires cryptographiques de Garg, Gentry et Halevi.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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