Relations between image model and number of measures for a high fidelity super-resolution
Relations entre le modèle d’image et le nombre de mesures pour une super-résolution fidèle
Résumé
Multi-image super-resolution produces a high resolution image from several
low resolution acquisitions of a scene. This inverse problem can be ill-posed. We then need
to use a regularity model on the scene to be able to produce a realistic image. However,
modelization errors limit the performance of such methods. Consequently, finding conditions
where the problem is well-posed is necessary to be able to limit the amount of regularization
when possible, and maximize the fidelity of the result. We ask ourselves the following
questions :
For noises with finite energy or ouliers, how many images permit the reconstruction of
a high resolution image close to the real scene ? How to maximize fidelity of regularied
methods when the number of images is too small ?
For measure noises, an asymptotic study of the conditioning guarantees that it is possible
to use an unregularized method if enough images are available. In cases closes to the critical
inversible case, which are not well-posed, we propose and validate a local estimator of the
conditioning, which we use to limit the amount of regularization. For outliers, we use the
equivalence between the sparse recovery problem and the robustness to outliers to calculate
bounds for the robustness of super-resolution. We also study the regularized case and show
conditions which increase the robustness of the problem. All these resuts are validated by
experiments.
La super-résolution multi-image consiste à produire une image de haute résolution d’une
scène à partir de plusieurs acquisitions de basse résolution. Le problème inverse correspondant
peut être mal posé, il faut alors avoir recours à un modèle de régularité sur le contenu
de la scène pour produire une image de haute résolution réaliste. Seulement, les erreurs de
modélisation limitent la performance de telles méthodes. En conséquence, il est important
de déterminer les conditions dans lesquelles le problème est bien posé afin d’éviter de
régulariser lorsque cela est possible, et ainsi maximiser la fidélité de la super-résolution. On
se pose donc les questions suivantes :
Pour des bruits d’énergie finie ou une contamination par des données aberrantes (de
support fini), combien d’images permettent de produire une image de haute résolution fidèle
à la réalité ? Comment maximiser la fidélité du résultat des méthodes régularisées lorsque
le nombre d’images est insuffisant ?
Dans le cas d’un bruit de mesure, une étude du comportement asymptotique du conditionnement
du système inverse valide la possibilité d’effectuer une super-résolution non
régularisée lorsque le nombre d’images est suffisant. Par ailleurs, dans les cas proches
du seuil critique d’inversibilité, qui sont les plus mal posés, nous proposons et validons un
estimateur local du conditionnement qui nous permet de restreindre le plus possible le recours
à une régularisation. Dans le cas de données aberrantes, nous utilisons l’équivalence
entre le problème de reconstruction parcimonieuse et la résistance aux données aberrantes
pour démontrer des bornes de résistance aux données aberrantes du problème de superrésolution.
Nous traitons aussi le cas de la régularisation et montrons les conditions sous
lesquelles celle-ci permet d’améliorer la robustesse du problème. Tous ces résultats sont
validés par des expériences.
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