H-cobordisms in symplectic geometry
H-cobordismes en géométrie symplectique
Résumé
To any contact manifold one can associate a symplectic manifold called its symplectisation in such a way that contact geometry can be reformulated in terms of equivariant symplectic geometry. Concerning this fundamental construction, a basic question remained open : if two contact manifolds have isomorphic symplectizations, are they isomorphic ? In this thesis, we construct counter-examples to this question. Indeed, in any odd dimension greater than or equal to 5, there exist non-diffeomorphic contact manifolds with isomorphic symplectisations. In addition, we construct two contact structures on a closed manifold that are not conjugate by a diffeomorphism though their symplectizations are isomorphic. The proofs are based on a well-known phenomenon in differential topology (the existence of non-trivial h-cobordisms, detected by Whitehead torsion) as well as flexibility results in symplectic geometry due to Cieliebak and Eliashberg. Another result from this thesis asserts that though these contact manifolds are not isomorphic, they become so after sufficiently many connect sum with a product of spheres.
À toute variété de contact, on peut associer canoniquement une variété symplectique appelée sa symplectisation de sorte que la géométrie de contact peut se reformuler en termes de géométrie symplectique équivariante. Au sujet de cette construction fondamentale, une question basique restait ouverte : si deux variété de contact ont des symplectisations isomorphes sont-elles isomorphes ? On construit dans cette thèse des contre-exemples à cette question. Il existe en effet, en toute dimension impaire supérieure ou égale à 5, des variétés de contact non difféomorphes admettant pourtant des symplectisations isomorphes. On construit également, sur une même variété deux structures de contact non conjuguées par un difféomorphisme mais admettant des symplectisations isomorphes. Les démonstrations sont basées sur un phénomène bien connu en topologie différentielle (l'existence de h-cobordismes non triviaux, détectée par la torsion de Whitehead) ainsi que sur des résultats de flexibilité en géométrie symplectique dus à Cieliebak et Eliashberg. Un autre résultat de cette th?e affirme que ces variété de contact, bien que non isomorphes, le deviennent toutefois après un nombre suffisant de sommes connexes avec un produit de sphères.
Domaines
Mathématiques générales [math.GM]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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