Mahler functional equations and applications to p-regular sequences
Équations fonctionnelles de Mahler et applications aux suites p-régulières
Résumé
p-Regular sequences, introduced by Allouche and Shallit, are a generalization of p-automatic sequences. The generating series of such a sequence can be either viewed as a formal power series, or as a holomorphic function (in the complex case); it satisfies a linear functional equation called "Mahler equation". In this work we give general results for these functional equations, that we then apply to the particular case of p-regular sequences.
The formal framework is given in Chapters 1 to 3, where Mahlerian structures are studied. Chaper 4 shows transcendency of nonrational solutions through the study of their singularities. We thus extend a result which is well-known in the automatic case. Chapter 5 answers a question asked by Rubel by proving that, in one case, nonrational solutions are differentially transcendental (or hypertranscendental). Chapter 7, using well-known methods, builds on Chapter 4 to establish the transcendency of values of these functions, in connection with a question asked by Allouche and Shallit. Chapter 8 gives a very partial result in the direction of a conjecture by Loxton and van der Poorten. Chapter 6 sketches a study of the non-linear case.
Le concept de suite p-régulière, introduit par Allouche et Shallit, généralise celui de suite p-automatique. La série génératrice d'une telle suite est considérée, tantôt comme une série formelle, tantôt comme une fonction holomorphe (dans le cas complexe) ; elle vérifie une équation fonctionnelle linéaire, dite de Mahler. Ce travail étudie ces équations fonctionnelles de façon générale, pour les appliquer au cas particulier des suites p-régulières.
Le cadre formel est celui des chapitres 1, 2 et 3. On y étudie certaines structures mahlériennes. Le chapitre 4 montre la transcendance des solutions non rationnelles, par l'étude de leurs singularités. On étend ainsi un résultat bien connu dans le cas automatique. Le chapitre 5, répondant à une question posée par Rubel, montre que, dans un cas, les solutions non rationnelles sont différentiellement transcendantes (ou hypertranscendantes). Le chapitre 7, reprenant des méthodes bien connues, s'appuie sur le chapitre 4 pour établir la transcendance des valeurs prises, s'intéressant ainsi à une question posée par Allouche et Shallit. Le chapitre 8 montre un résultat très partiel en direction d'une conjecture de Loxton et van der Poorten. Le chapitre 6 esquisse une étude dans le cas non linéaire.