Non compact conformal field theories in statistical mechanics - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2015

Non compact conformal field theories in statistical mechanics

Théories conformes non compactes en mécanique statistique

Résumé

The critical points of statistical mechanical systems in 2 dimensions or quantum mechanical systems in 1+1 dimensions, as well as some aspects of non interacting systems in 2+1 dimensions, are efficiently tackled by the methods of conformal field theory (CFT) and integrability, which have witnessed spectacular progress during the past 40 years. Difficulties are met in the non unitary case, frequent in statistical mechanics or condensed matter (as for instance in the Integer Quantum Hall Effect plateau transitions), where the CFTs are {\it logarithmic}, therefore very difficult to classify algebraically, and most often {\it non compact}, which has long been considered as an obstacle to their understanding through lattice discretizations. The connection between discrete models and non compact CFTs has indeed never been clear, in particular it was long believed that the latter could not arise as the continuum limit of `usual' spin chains or lattice models built out of a compact set of degrees of freedom. In this thesis, we show that the world of compact discrete models with a non compact continuum limit extends much further than the few examples known to this date and encompasses, in contrast with earlier expectations, cases of great physical relevance. We propose an exact solution of an infinite family of models, the so-called $a_n^{(2)}$ and $b_n^{(1)}$ models, all of which are argued to allow for a non compact regime. Some of these models are related to problems of polymer physics, coupled Potts models and a tentative description of the quantum Hall plateau transition by some compact geometrical truncation. We show that the existence of an unsuspected non compact continuum limit for such models can have dramatic practical effects, for instance in the numerical determination of the critical exponents or in Monte-Carlo simulations. We use our results for a better understanding of the controversial {\it theta transition} describing the collapse of polymers in two dimensions, and draw perspectives on a possible understanding of the quantum Hall plateau transition from exactly solvable lattice models.
Les comportements critiques des syst\`emes de m\'ecanique statistique en 2 dimensions ou de m\'ecanique quantique en 1+1 dimensions, ainsi que certains aspects des syst\`emes sans interactions en 2+1 dimensions, sont efficacement d\'ecrits par les m\'ethodes de la th\'eorie des champs conforme et de l'int\'egrabilit\'e, dont le d\'eveloppement a \'et\'e spectaculaire au cours des 40 derni\`eres ann\'ees. D'importantes difficult\'es apparaissent dans le cas non unitaire, fr\'equent en m\'ecanique statistique ou en mati\`ere condens\'ee (par exemple dans la transition entre plateaux de l'Effet Hall Quantique Entier), pour lequel les th\'eories conformes sont {\it logarithmiques}, et par ailleurs souvent {\it non compactes}. Tandis que la classification des premi\`eres se r\'ev\`ele \^etre un probl\`eme math\'ematique d'une grande complexit\'e, le caract\`ere non compact, associ\'e en pratique \`a un continuum d'exposants critiques, compromet beaucoup l'acc\`es \`a de telles th\'eories par une approche `sur le r\'eseau'. Il a par exemple longtemps \'et\'e cru impossible de voir \'emerger des th\'eories des champs non compactes comme limite continue des mod\`eles discrets `usuels', construits \`a partir d'un ensemble compact de degr\'es de libert\'es. Dans cette th\`ese, on montre que l'ensemble des mod\`eles discrets compacts \`a limite continue non compacte d\'epasse largement les quelques exemples connus \`a ce jour. La solution exacte d'une famille infinie de mod\`eles int\'egrables (les mod\`eles $a_n^{(2)}$ et $b_n^{(1)}$) est propos\'ee, lesquels se trouvent tous \^etre d\'ecrits, dans un certain r\'egime, par des th\'eories conformes non compactes. Certains de ces mod\`eles sont associ\'es \`a des probl\`emes physiques tels que la transition de repliement des polym\`eres, des mod\`eles de Potts coupl\'es ou une troncation g\'eom\'etrique d'un mod\`ele de boucles pour la transition entre plateaux de l'Effet Hall. L'existence insoup\c conn\'ee de limite continues non compactes pour de tels mod\`eles s'accompagne d'importantes cons\'equences pratiques, par exemple dans l'estimation num\'erique d'exposants critiques ou dans les simulations de Monte Carlo. Nos r\'esultats sont appliqu\'es \`a une meilleure compr\'ehension de la {\it transition theta} d\'ecrivant le repliement des polym\`eres en deux dimensions, et des perspectives concernant l'approche de l'Effet Hall par des mod\`eles exactement solubles sont pr\'esent\'ees.
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Dates et versions

tel-01199078 , version 1 (14-09-2015)
tel-01199078 , version 2 (04-10-2017)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01199078 , version 1

Citer

Eric Vernier. Non compact conformal field theories in statistical mechanics. Physics [physics]. ENS Paris, 2015. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01199078v1⟩
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