Compressed sensing along physicaly plausible sampling trajectories
Échantillonnage compressé le long de trajectoires physiquement plausibles en IRM
Résumé
Magnetic Resonance Imaging (MRI) is a non-invasive and non-ionizing imaging technique
that provides images of body tissues, using the contrast sensitivity coming from
the magnetic parameters (T1, T2 and proton density). Data are acquired in the k-space,
corresponding to spatial Fourier frequencies. Because of physical constraints, the displacement
in the k-space is subject to kinematic constraints. Indeed, magnetic eld
gradients and their temporal derivative are upper bounded. Hence, the scanning time
increases with the image resolution.
Decreasing scanning time is crucial to improve patient comfort, decrease exam costs,
limit the image distortions (eg, created by the patient movement), or decrease temporal
resolution in functionnal MRI. Reducing scanning time can be addressed by Compressed
Sensing (CS) theory. The latter is a technique that guarantees the perfect recovery of
an image from undersampled data in k-space, by assuming that the image is sparse in a
wavelet basis.
Unfortunately, CS theory cannot be directly cast to the MRI setting. The reasons are:
i) acquisition (Fourier) and representation (wavelets) bases are coherent and ii) sampling
schemes obtained using CS theorems are composed of isolated measurements and cannot
be realistically implemented by magnetic eld gradients: the sampling is usually performed
along continuous or more regular curves. However, heuristic application of CS in
MRI has provided promising results.
In this thesis, we aim to develop theoretical tools to apply CS to MRI and other modalities.
On the one hand, we propose a variable density sampling theory to answer the
rst inpediment. The more the sample contains information, the more it is likely to be
drawn. On the other hand, we propose sampling schemes and design sampling trajectories
that fulll acquisition constraints, while traversing the k-space with the sampling
density advocated by the theory.
The second point is complex and is thus addressed step by step. First, we propose
continuous sampling schemes based on random walks and on travelling salesman (TSP)
problem. Then, we propose a projection algorithm onto the space of constraints that
returns the closest feasible curve of an input curve (eg, a TSP solution). Finally, we
provide an algorithm to project a measure onto a set of measures carried by parameterizations.
In particular, if this set is the one carried by admissible curves, the algorithm
returns a curve which sampling density is close to the measure to project. This designs
an admissible variable density sampler. The reconstruction results obtained in simulations
using this strategy outperform existing acquisition trajectories (spiral, radial) by
about 3 dB. They permit to envision a future implementation on a real 7 T scanner soon,
notably in the context of high resolution anatomical imaging.
L'imagerie par résonance magnétique (IRM) est une technique d'imagerie non invasive
et non ionisante qui permet d'imager et de discriminer les tissus mous grâce à une bonne
sensibilité de contraste issue de la variation de paramètres physiques (T1, T2, densité
de protons) spécique à chaque tissu. Les données sont acquises dans l'espace-k, correspondant
aux fréquences spatiales de l'image. Des contraintes physiques et matérielles
contraignent le mode de fonctionnement des gradients de champ magnétique utilisés pour
acquérir les données. Ainsi, ces dernières sont obtenues séquentiellement le long de trajectoires
assez régulières (dérivée et dérivée seconde bornées). En conséquence, la durée
d'acquisition augmente avec la résolution recherchée de l'image.
Accélérer l'acquisition des données est crucial pour réduire la durée d'examen et ainsi
améliorer le confort du sujet, diminuer les coûts, limiter les distorsions dans l'image (e.g.,
dues au mouvement), ou encore augmenter la résolution temporelle en IRM fonctionnelle.
L'échantillonnage compressif permet de sous-échantillonner l'espace-k, et de reconstruire
une image de bonne qualité en utilisant une hypothèse de parcimonie de l'image dans
une base d'ondelettes.
Les théories d'échantillonnage compressif s'adaptent mal à l'IRM, même si certaines
heuristiques ont permis d'obtenir des résultats prometteurs. Les problèmes rencontrés en
IRM pour l'application de cette théorie sont i) d'une part, les bases d'acquisition (Fourier)
et de représentation (ondelettes) sont cohérentes ; et ii) les schémas actuellement couverts
par la théorie sont composés de mesures isolées, incompatibles avec l'échantillonnage
continu le long de segments ou de courbes.
Cette thèse vise à développer une théorie de l'échantillonnage compressif applicable à
l'IRM et à d'autres modalités. D'une part, nous proposons une théorie d'échantillonnage
à densité variable pour répondre au premier point. Les échantillons les plus informatifs
ont une probabilité plus élevée d'être mesurés. D'autre part, nous proposons des schémas
et concevons des trajectoires qui vérient les contraintes d'acquisition tout en parcourant
l'espace-k avec la densité prescrite dans la théorie de l'échantillonnage à densité variable.
Ce second point étant complexe, il est abordé par une séquence de contributions ind
épendantes. D'abord, nous proposons des schémas d'échantillonnage à densité variables
le long de courbes continues (marche aléatoire, voyageur de commerce). Ensuite,
nous proposons un algorithme de projection sur l'espace des contraintes qui renvoie la
courbe physiquement plausible la plus proche d'une courbe donnée (e.g., une solution
du voyageur de commerce). Nous donnons enn un algorithme de projection sur des
espaces de mesures qui permet de trouver la projection d'une distribution quelconque
sur l'espace des mesures porté par les courbes admissibles. Ainsi, la courbe obtenue est
physiquement admissible et réalise un échantillonnage à densité variable. Les résultats
de reconstruction obtenus en simulation à partir de cette méthode dépassent ceux associ
ées aux trajectoires d'acquisition utilisées classiquement (spirale, radiale) de plusieurs
décibels (de l'ordre de 3 dB) et permettent d'envisager une implémentation prochaine à 7 Tesla notamment dans le contexte de l'imagerie anatomique haute résolution.