Computing modular polynomials in dimension 2
Calcul des polynômes modulaires en dimension 2
Résumé
Modular polynomials on elliptic curves are a fundamental tool used for the
computation of graph of isogenies, class polynomials or for point counting. Thus,
they are fundamental for the elliptic curve cryptography.
A generalization of these polynomials for principally polarized abelian surfaces
has been introduced by Régis Dupont in 2006, who has also described an algorithm
to compute them, while theoretical results can been found in an article of Bröker–
Lauter of 2009. But these polynomials being really big, they have been computed
only in the minimal case p = 2.
In this thesis, we continue the work of Dupont and Bröker–Lauter by defining
and giving theoretical results on modular polynomials with new invariants, based
on theta constants. Using these invariants, we have been able to compute the
polynomials until p = 7 but bigger examples look intractable. Thus we define a
new kind of modular polynomials where we restrict on the surfaces having real
multiplication by the maximal order of a real quadratic field. We present many
examples and theoretical results.
Les polynômes modulaires sont utilisés dans le calcul de graphes d’isogénies, le
calcul des polynômes de classes ou le comptage du nombre de points d’une courbe
elliptique, et sont donc fondamentaux pour la cryptographie basée sur les courbes
elliptiques.
Des polynômes analogues sur les surfaces abéliennes principalement polarisées
ont été introduits par Régis Dupont en 2006, qui a également proposé un algo-
rithme pour les calculer, et des résultats théoriques sur ces polynômes ont été
donnés dans un article de Bröker–Lauter, en 2009. Mais les polynômes sont très
gros et ils n’ont pu être calculés que pour l’exemple minimal p = 2.
Dans cette thèse, nous poursuivons les travaux de Dupont et Bröker–Lauter
en permettant de calculer des polynômes modulaires pour des invariants basés sur
les thêta constantes, avec lesquels nous avons pu calculer les polynômes jusqu’à
p = 7, tout en démontrant des propriétés de ces polynômes. Mais des exemples
plus grands ne semblent pas envisageables.
Ainsi, nous proposons une nouvelle définition des polynômes modulaires dans
laquelle l’on se restreint aux surfaces abéliennes principalement polarisées qui
ont multiplication réelle par l’ordre maximal d’un corps quadratique réel afin
d’obtenir des polynômes plus petits. Nous présentons alors de nombreux exemples
de polynômes et des résultats théoriques.