Limit theorems of probability theory in dynamical systems
Théorèmes limites de la théorie des probabilités dans les systèmes dynamiques
Résumé
This thesis is devoted to limit theorems for strictly stationary sequences and
random fields. We concentrate essentially on the central limit theorem and its
invariance principle.
First, we show with the help of a counter-example that for
a strictly stationary absolutely regular sequence, the central limit theorem
may hold but not the invariance principle. We also show that the central limit
theorem does not take place for partial sums of a Hilbert space valued,
strictly stationary and absolutely regular
sequence, even if we assume that the normalized partial sums form a uniformly
integrable family.
Second, we investigate the Holderian invariance principle.
We treat the case of $\tau$-dependent (Dedecker, Prieur, 2005) and
$\rho$-mixing strictly stationary sequences. We provide a sufficient condition
on the law of a strictly stationary martingale difference sequence and the
quadratic variance which guarantee the invariance principle in a Hölder space.
We construct a counter-example which shows its sharpness. We derive
conditions in the spirit of Hannan (1979), and Maxwell and Woodroofe (2000)
by a martingale approximation.
We then discuss the martingale/coboundary decomposition.
In dimension one, we provide sharp integrability conditions on the transfer function
and the coboundary for which the later does not spoil the invariance principle,
the law of the iterated logarithm or the strong law of large numbers if these
theorems take place for the martingale involved in the decomposition. We also
provide a sufficient condition for an orthomartingale/coboundary decomposition
for strictly stationary random fields.
Lastly, we establish tails inequalities for orthomartingale and Bernoulli random fields.
We prove an invariance principle in Hölder spaces for these random fields using such
inequalities.
Cette thèse est consacrée aux théorèmes limites pour les suites et les champs aléatoires strictement stationnaires. Nous étudions essentiellement le théorème limite central et sa version fonctionnelle, appelée principe d'invariance.
Dans un premier temps, nous montrons à l'aide
d'un contre-exemple que pour les processus strictement stationnaires $\beta$-mélangeants,
le théorème limite central peut avoir lieu sans que ce ne soit le cas pour la version
fonctionnelle. Nous montrons également que le théorème limite central n'a pas nécessairement
lieu pour les sommes partielles d'une suite strictement stationnaire $\beta$-mélangeante
à valeurs dans un espace de Hilbert de dimension infinie, même en supposant l'uniforme
intégrabilité de la suite des sommes partielles normalisées.
Puis nous étudions le
principe d'invariance dans l'espace des fonctions hölderiennes. Nous traitons
le cas des suites strictement stationnaires $\tau$-dépendantes (au sens de
Dedecker, Prieur, 2005) ou $\rho$-mélangeantes. Nous donnons également une condition
suffisante sur la loi d'une suite strictement stationnaire d'accroissements d'une martingale
et la variance conditionnelle garantissant le
principe d'invariance dans l'espace des fonctions hölderiennes, et nous démontrons
son optimalité à l'aide d'un contre-exemple. Ensuite, nous déduisons grâce à une
approximation par martingales des conditions dans l'esprit de celles de Hannan (1979), et
Maxwell et Woodroofe (2000).
Nous discutons ensuite de la décomposition martingale/cobord.
Dans le cas des suites, nous fournissons des conditions d'intégrabilité sur la
fonction de transfert et le cobord pour que ce dernier ne perturbe pas le principe d'invariance,
la loi des logarithmes itérés ou bien la loi forte des grands nombres si ceux-ci ont lieu pour
la martingale issue de la décomposition. Dans le cas
des champs, nous formulons une condition suffisante pour une décomposition
ortho-martingale/cobord.
Enfin, nous établissons des inégalités sur les queues des maxima
des sommes partielles d'un champ aléatoire de type ortho-martingale ou bien
d'un champ qui s'exprime comme une fonctionnelle d'un champ i.i.d. Ces
inégalités permettent d'obtenir un principe d'invariance dans les espaces
hölderiens pour ces champs aléatoires.
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