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Theses Year : 2015

The Izergin-Korepin model

Le modèle d'Izergin-Korepin

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Abstract

Among the models of interacting classical statistical mechanics the Yang–Baxter (YB) integrable systems play a special role. The central model in the theory of yb integrable systems is the six vertex model. many powerful techniques were developed to study the six vertex model. The model under consideration is the Izergin-Korepin (IK) nineteen vertex model, which can be viewed as a generalization of the six vertex model. Our aim is to understand the physics of the ik model using the extensions of the methods which were applied to the six vertex model. We review the algebraic bethe ansatz for the IK model based on the nineteen-vertex R-matrix and propose a new presentation for the eigenstate of the relevant transfer matrix. We also address the question of the calculation of the scalar products of the IK model. an important object in the theory of scalar products is the domain wall boundary partition function. for this partition function defined for the IK model we derive a recurrence relation and solve it in a special case. We move on to the representation theory of the underlying quantum group (U_q(A^{(2)}_{2})), for which we compute all higher dimensional irreducible representations which are relevant for the IK model (Kirillov-Reshetikhin (KR) modules). The latter is accomplished in the so-called drinfeld presentation of quantum groups. This presentation has technical advantages for computations of the R-matrices by means of the Khoroshkin-Tolstoy (KT) formula. We use this to compute the R-matrix in a tensor product of the fundamental representation and a generic higher dimensional kr module. On the other hand, the Drinfeld presentation makes apparent the connection between the borel subalgebras of the quantum group U_q(A^{(2)}_{2}) and the Q-deformed oscillator algebras (oscq). The latter algebras are closely related to the representation theoretic definition of special transfer matrices: the Q-operators; these operators are central in the theory of functional relations of integrable models. we use the oscq type algebras in the KT formula to compute some L-matrices which are used to build the Q-operators. finally, we consider a special case of the ground state of the IK model when the deformation parameter Q is equal to a root of unity. In this case we compute explicitly the ground state eigenvalues of various transfer matrices including the Q-operator. we use the latter result to compute the components of the ground state of the IK model for small systems.
Parmi les modèles de mécanique statistique classique avec interaction les systèmes intégrables de Yang–Baxter (YB) jouent un rôle particulier. Le modèle central dans la théorie des systèmes intégrables YB est le modèle à six vertex. Plusieurs méthodes ont été développées pour étudier le modèle à six vertex. Notre but est de comprendre la physique du modèle à dix-neuf vertex d’Izergin–Korepin (IK), qui peut être vu comme une généralisation du modèle à six vertex. On donne une vue d’ensemble de l’Ansatz algébrique de Bethe pour le modèle IK basé sur la matrice R à dix-neuf vertex et on propose une nouvelle présentation pour les états propres de la matrice de transfert associée. On adresse aussi la question du calcul des produits scalaires pour le modèle IK. Un objet important dans la théorie des produits scalaires est la fonction de partition avec des conditions aux bords de domaine. Pour cette fonction de partition, définie pour le modèle IK, on obtient une relation de récurrence pour laquelle on trouve la solution dans un cas particulier. La théorie de la représentation du groupe quantique (U_q(A^{(2)}_{2})) associé au modèle IK nous permet d’obtenir toutes les représentations de dimension plus élevée pertinentes pour ce modèle (les modules de Kirillov–Reshetikhin (KR)). Ceci est réalisé dans la présentation de Drinfeld des groupes quantiques. Cette présentation a des avantages techniques quand on calcule les matrices R par la formule de Khoroshkin–Tolstoy (KT). On l’utilise pour calculer la matrice R évaluée sur le produit tensoriel de la représentation fondamentale et d’un module KR de dimension plus élevée. D’un autre côté, la présentation de Drinfeld montre la connexion entre les sous-algèbres de Borel du groupe quantique U_q(A^{(2)}_{2})) et les algèbres d’oscillateurs q-déformés (Oscq). Ces algèbres sont étroitement liées à la définition(par la théorie de la représentation) d’un certain type de matrices de transfert : les opérateurs Q; ces opérateurs jouent un rôle central dans la théorie des relations fonctionnelles des modèles intégrables. On utilise les algèbres de type Oscq dans la formule KT pour calculer quelques matrices L, qui sont utilisées pour construire les opérateurs Q. Finalement,on considère un cas particulier de l’état fondamental du modèle IK avec paramètre de déformation q égal à une racine de l’unité. Dans ce cas, on calcule explicitement les valeurs propres de différentes matrices de transfert, y compris de l’opérateur Q. On utilise ce dernier résultat pour obtenir l’état fondamental du modèle IK pour des petites tailles.
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Cite

Alexandr Garbali. The Izergin-Korepin model. Operator Algebras [math.OA]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2015. English. ⟨NNT : 2015PA066357⟩. ⟨tel-01266625⟩
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