Asymptotic methods in stochastic control and applications in finance
Méthodes asymptotiques en contrôle stochastique et applications à la finance
Résumé
In this thesis, we study several mathematical finance problems related to the presence of market imperfections. Our main approach for solving them is to establish a relevant asymptotic framework in which explicit approximate solutions can be obtained for the associated control problems.
In the first part of this thesis, we are interested in the pricing and hedging of European options. We first consider the question of determining the optimal rebalancing dates for a replicating portfolio in the presence of a drift in the underlying dynamics. We show that in this situation, it is possible to generate positive returns while hedging the option and describe a rebalancing strategy which is asymptotically optimal for a mean-variance type criterion. Then we propose an asymptotic framework for options risk management under proportional transaction costs. Inspired by Leland’s approach, we develop an alternative way to build hedging portfolios enabling us to minimize hedging errors.
The second part of this manuscript is devoted to the issue of tracking a stochastic target. The agent aims at staying close to the target while minimizing tracking efforts. In a small costs asymptotics, we establish a lower bound for the value function associated to this optimization problem. This bound is interpreted in term of ergodic control of Brownian motion. We also provide numerous examples for which the lower bound is explicit and attained by a strategy that we describe.
In the last part of this thesis, we focus on the problem of consumption-investment with capital gains taxes. We first obtain an asymptotic expansion for the associated value function that we interpret in a probabilistic way. Then, in the case of a market with regime-switching and for an investor with recursive utility of Epstein-Zin type, we solve the problem explicitly by providing a closed-form consumption-investment strategy. Finally, we study the joint impact of transaction costs and capital gains taxes. We provide a system of corrector equations which enables us to unify the results in [Homogenization and asymptotics for small transaction costs, M.Soner and N. Touzi, 2013] and [Asymptotics for Merton problem with small capital gain tax and interest rate, X. Chen and M. Dai, 2013].
Dans cette thèse, nous étudions plusieurs problèmes de mathématiques financières liés à la présence d’imperfections sur les marchés. Notre approche principale pour leur résolution est l’utilisation d’un cadre asymptotique pertinent dans lequel nous parvenons à obtenir des solutions approchées explicites pour les problèmes de contrôle associés.
Dans la première partie de cette thèse, nous nous intéressons à l’évaluation et la couverture des options européennes. Nous considérons tout d’abord la problématique de l’optimisation des dates de rebalancement d’une couverture à temps discret en présence d’une tendance dans la dynamique du sous-jacent. Nous montrons que dans cette situation, il est possible de générer un rendement positif tout en couvrant l’option et nous décrivons une stratégie de rebalancement asymptotiquement optimale pour un critère de type moyenne-variance. Ensuite, nous proposons un cadre asymptotique pour la gestion des options européennes en présence de coûts de transaction proportionnels. En s’inspirant des travaux de Leland, nous développons une méthode alternative de construction de portefeuilles de réplication permettant de minimiser les erreurs de couverture.
La seconde partie de ce manuscrit est dédiée à la question du suivi d’une cible stochastique. L’objectif de l’agent est de rester proche de cette cible tout en minimisant le coût de suivi. Dans une asymptotique de coûts petits, nous démontrons l’existence d’une borne inférieure pour la fonction valeur associée à ce problème d’optimisation. Cette borne est interprétée en terme du contrôle ergodique du mouvement brownien. Nous fournissons également de nombreux exemples pour lesquels la borne inférieure est explicite et atteinte par une stratégie que nous décrivons.
Dans la dernière partie de cette thèse, nous considérons le problème de consommation et inves- tissement en présence de taxes sur le rendement des capitaux. Nous obtenons tout d’abord un développement asymptotique de la fonction valeur associée que nous interprétons de manière probabiliste. Puis, dans le cas d’un marché avec changements de régime et pour un investisseur dont l’utilité est du type Epstein-Zin, nous résolvons explicitement le problème en décrivant une stratégie de consommation-investissement optimale. Enfin, nous étudions l’impact joint de coûts de transaction et de taxes sur le rendement des capitaux. Nous établissons dans ce cadre un système d’équations avec termes correcteurs permettant d’unifier les résultats de [Homogenization and asymptotics for small transaction costs, M.Soner and N.Touzi, 2013] et [Asymptotics for Merton problem with small capital gain tax and interest rate, X.Chen and M.Dai, 2013].
Mots clés
linear programming
martingale problem
utility maximization
discretization of stochastic integrals
illiquidity cost
temporary market impact
capital gains taxes
recursive utility
Epstein-Zin
homogenization
Discrete hedging
asymptotic optimality
transaction costs
linear- quadratic control
Leland strategy
conditional variance
singular control
occupation measure
asymptotic lower bound
impulse control
time-average control
Couverture discrète
temps d’arrêt
optimalité asymptotique
coût de transactions
contrôle linéaire-quadratique
stratégie de Leland
variance conditionnelle
contrôle singulier
mesure d’occupation
borne inférieure asymptotique
contrôle impulsionnelle
contrôle moyen en temps
programmation linéaire
problème de martingale
maximisation d’utilité
discrétisation des intégrales stochastiques
coût illiquidité
impact de marché temporaire
taxe de rendement des capitaux
utilité récursive
homogénéisation.
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