Algorithmes pour les anneaux finis
Algorithms for finite rings
Résumé
In this thesis we are interested in describing algorithms that answer
questions arising in ring and module theory. Our focus is on deterministic
polynomial-time algorithms and rings and modules that are finite.
The first main result of this thesis concerns the module isomorphism
problem: we describe two distinct algorithms that, given a finite ring R and
two finite R-modules M and N , determine whether M and N are isomorphic. If
they are, the algorithms exhibit such an isomorphism.
In addition, we show how to compute a set of generators of minimal
cardinality for a given module, and how to construct projective covers and
injective hulls. We also describe tests for module simplicity, projectivity,
and injectivity, and constructive tests for existence of surjective module
homomorphisms between two finite modules, one of which is projective.
As a negative result, we show that the problem of testing for existence of
injective module homomorphisms between two finite modules, one of which is
projective, is NP-complete.
The last part of the thesis is concerned with finding a good working
approximation of the Jacobson radical of a finite ring, that is, a two-sided
nilpotent ideal such that the corresponding quotient ring is "almost"
semisimple. The notion we use to approximate semisimplicity is that of
separability.
Cette thèse s'attache a décrire des algorithmes qui répondent à des questions
provenant de la théorie des anneaux et des modules. Nous restreindrons
essentiellement notre étude à des algorithmes déterministes, en temps
polynomial, ainsi qu'aux anneaux et modules finis.
Le premier des principaux résultats de cette thèse concerne le problème de
l'isomorphisme entre modules : nous décrivons deux algorithmes distincts qui,
étant donné un anneau fini R et deux R-modules M et N finis, déterminent si M
et N sont isomorphes. S'ils le sont, les deux algorithmes exhibent un tel
isomorphisme.
De plus, nous montrons comment calculer un ensemble de générateurs de
taille minimale pour un module donné, et comment construire des couvertures
projectives et des enveloppes injectives. Nous décrivons ensuite des tests
mettant en évidence le caractère simple, projectif ou injectif d'un module,
ainsi qu'un test constructif de l'existence d'un homomorphisme de modules
surjectif entre deux modules finis, l'un d'entre eux étant projectif. Par
contraste, nous montrons le résultat négatif suivant : le problème consistant à
tester l'existence d'un homomorphisme de modules injectif entre deux modules,
l'un des deux étant projectif, est NP-complet.
La dernière partie de cette thèse concerne le problème de l'approximation
du radical de Jacobson d'un anneau fini. Il s'agit de déterminer un idéal
bilatère nilpotent tel que l'anneau quotient correspondant soit "presque"
semi-simple. La notion de semi-simplicitée approchée que nous utilisons est la
séparabilité.