Semiclassical analysis of the Schrödinger equation with singular potentials - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2016

Semiclassical analysis of the Schrödinger equation with singular potentials

Analyse semiclassique de l'équation de Schrödinger à potentiels singuiers

Résumé

In the first part of this thesis we study the propagation of Wigner measures linked to solutions of the Schrödinger equation with potentials presenting conical singularities and show that they are transported by two different Hamiltonian flows, one over the bundle cotangent to the singular set and the other elsewhere in the phase space, up to a transference phenomenon between these two regimes that may arise whenever trajectories in the outsider flow lead in or out the bundle. We describe in detail either the flow and the mass concentra- tion around and on the singular set and illustrate with examples some issues raised by the lack of unicity for the classical trajectories on the singularities despite the unicity for quan- tum solutions, dismissing any classical selection principle, but in some cases being able to fully solve the problem. In the second part we present a work in collaboration with Dr. Clotilde Fermanian and Dr. Fabricio Macià where we analyse a Schrödinger-like equation pertinent to the semiclas- sical study of the dynamics of an electron in a crystal with impurities, showing that in the limit where the characteristic length of the crystal’s lattice can be considered sufficiently small with respect to the variation of the exterior potential modelling the impurities, then this equation is approximated by an effective mass equation, or, more generally, that its so- lution decomposes in terms of Bloch modes, all of them satisfying effective mass equations specifically assigned to their Bloch energies.
Dans la première partie de cette thèse nous étudions la propagation des mesures de Wigner associées aux solutions de l’équation de Schrödinger à potentiels présentant des singularités coniques, et nous montrons qu’elles sont transportées par deux différents flots Hamiltoniens, l’un sur le fibré cotangent à la variété des singularités et l’autre ailleurs dans l’espace des phases, à moins d’un phénomène d’échange entre ces deux régimes qui peut se produire quand des trajectoires du flot extérieur atteignent le fibré cotangent. Nous décrivons en détail et le flot et la concentration de masse autour et sur la variété singulière, et illustrons avec des exemples quelques questions issues de la faute d’unicité des trajectoires classiques sur les singularités en dépit de l’unicité des solutions quantiques, ce qui refute tout principe de sélection classique, mais qui n’empêche dans certains cas de résoudre com- plètement le problème. Dans la deuxième partie nous présentons un travail mené en collaboration avec Dr. Clotilde Fermanian et Dr. Fabricio Macià où nous analysons une équation de type Schrödin- ger pertinente à l’étude semiclassique de la dynamique d’un électron dans un cristal avec impuretés et montrons que, dans la limite où la période caractérisique du réseau cristallin est sufisamment petite par rapport à la variation du potentiel extérieur représentant les im- puretés, cette équation peut être approximée par une équation de masse effective, ou, plus généralement, que sa solution se décompose en modes de Bloch et que chacun d’eux satis- fait une équation de masse effective spécifique à son énergie de Bloch.
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Dates et versions

tel-01472588 , version 1 (21-02-2017)
tel-01472588 , version 2 (11-03-2017)

Identifiants

  • HAL Id : tel-01472588 , version 2

Citer

Victor Chabu. Semiclassical analysis of the Schrödinger equation with singular potentials. Analysis of PDEs [math.AP]. Université Paris-Est Créteil, 2016. English. ⟨NNT : ⟩. ⟨tel-01472588v2⟩
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