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Thèse Année : 2016

Enumeration and numeration

Énumération et numération

Résumé

This memoir involves several domains of discrete mathematics and theoretical computer science, such as formal languages, numeration, combinatorics on words, algorithmic, complexity, etc. In summary, various problems, all from the general area of numeration, are addressed by means of automata and transducers theory. We first consider integer base numeration systems. Given as a parameter an integer base b, we give a quasi-linear and structural algorithm to decide whether the language accepted by a given automaton is the set of the representations (in base b) of an ultimately periodic set of integers. Second, we consider the rational base p/q and particularly the language L_p/q of the representations of integers in this base. It is a quite complex language according to the usual criteria: in particular, it has a property called FLIP (for Finite Left Iteration Property) which implies that L_p/q does not satisfies any kind of pumping lemma. We prove that, if a monoid M is finitely generated and contains only numbers that are representable in base p/q, then the language of all the representations of the numbers of M possesses the FLIP property. We then study L_p/q from a different perspective: with every integer is associated an infinite word called minimal and we consider the function that maps the minimal word associated with n to the minimal word associated with (n+1); we show that this function is realised by an infinite transducer whose structure is virtually the same as the one of L_p/q. We finally describe a way to serialise a infinite tree and language into an infinite word, called signatures, by means of a breadth-first traversal. We first note that the signatures of regular languages form a subclass of morphic words, a result linked to the classical transformation automaton/word morphism. We then treat the case of periodic signatures and show their intrinsic relationship with rational base numeration systems: for every base p/q the language L_p/q has a periodic signature; given a finite sequence r of integer (that we call rhythm) the signature r^ω generates a language that is a non-canonical way to represent the set of all integers in base p/q, where p/q is the average of components of r. The notion of signature allows us to define an automaton transformation, called surminimisation, that reduces the number of states of the input automaton, more so than a classical minimisation. However, whereas an automaton and its minimisation accept the same language, it is in general not the case for an automaton and its surminimisation: the surminimisation process indeed preserves only the underlying ordered tree.
Ce mémoire aborde et résout des problèmes assez différents, ayant tous trait à la numération, avec une certaine unité conceptuelle quant aux moyens mis en œuvre pour les résoudre: la théorie des automates. Nous considérons d'abord les bases entières et présentons un algorithme quasi-linéaire et structurel permettant de décider si le langage accepté par un automate donné est la représentation d'un ensemble ultimement périodique d'entiers. Ensuite, nous étudions la base rationnelle p/q et particulièrement le langage L_p/q des représentations des entiers dans cette base. Il s'agit d'un langage relativement complexe selon la théorie classique des langages formels : il ne satisfait aucune forme de lemme d’itération. Nous montrons que chaque monoïde finiment engendré est représenté par un langage aussi complexe que L_p/q. Nous prenons ensuite une perspective différente pour étudier L_p/q : à chaque entier est associé un mot infini, dit minimal, et l'on étudie la fonction qui associe le mot minimal d'un entier n à celui de son successeur (n+1) ; nous montrons en particulier que cette fonction est réalisée par un transducteur infini dont la structure est très proche de celle du langage L_p/q. Enfin, nous décrivons une manière de sérialiser les arbres infinis et les langages en des mots, appelés signatures, par le moyen d'un parcours en largeur. On remarque d'abord que les langages réguliers sont associés aux mots morphiques, ce qui rejoint le lien entre les systèmes de numération abstraits réguliers et les systèmes de numération morphiques (aussi dit de Dumont-Thomas). On traite ensuite le cas des signatures périodiques et l'on montre qu'elles sont liées aux bases rationnelles ; ceci donne également une procédure pour construire L_p/q de façon très simple. Enfin, nous définissons une transformation d'automate, la surminimisation, qui réduit le nombre d'états d'un automate au delà de ce que permet la minimisation classique ; en contrepartie, un automate et sa surminimisation n'acceptent pas le même langage, mais seulement des langages avec le même arbre ordonné sous-jacent.
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Dates et versions

tel-01544698 , version 1 (22-06-2017)

Licence

Paternité - Pas de modifications

Identifiants

  • HAL Id : tel-01544698 , version 1

Citer

Victor Marsault. Énumération et numération. Mathématique discrète [cs.DM]. Télécom ParisTech, 2016. Français. ⟨NNT : 2016ENST0017⟩. ⟨tel-01544698⟩
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