Some results on Gaussian dynamical systems
Quelques résultats sur les systèmes dynamiques gaussiens réels
Abstract
The first chapter of this thesis proves that the entropy of a gaussian
dynamical system is zero or infinite, according as its spectral measure is
singular or not with respect to the Lebesgue measure. This result is extended
to the case of a multidimensional action.
In the second chapter, we develop a new model for gaussian systems, which are
viewed as a transformation of the plane brownian path. This transformation can
be inserted in a flow, for which we calculate a mean motion.
This model is used in the third chapter to construct two gaussian systems of
zero entropy which are not Kakutani-equivalent: one of them is not loosely
Bernoulli, whereas the other one (a gaussian-Kronecker system) is loosely
Bernoulli. For this, we also need to show a property of the plane brownian
motion: the whole path can be recovered knowing only some angles formed by the
trajectory.
Le premier chapitre de cette thèse établit que l'entropie d'un système
dynamique gaussien est soit nulle, soit infinie, suivant respectivement que sa
mesure spectrale est singulière ou non par rapport à la mesure de
Lebesgue. Ce résultat est étendu au cas d'une action multidimensionnelle.
Dans le second chapitre, on développe un nouveau modèle pour les
systèmes gaussiens, qui sont vus comme une transformation de la trajectoire
brownienne plane. Cette transformation peut être insérée dans un flot,
pour lequel on calcule un mouvement moyen.
Ce modèle est utilisé dans le troisième chapitre pour construire deux
systèmes gaussiens d'entropie nulle non équivalents au sens de Kakutani :
l'un n'est pas lâchement Bernoulli, alors que l'autre, qui est un gaussien-
Kronecker, est lâchement Bernoulli. Pour cela, on a aussi besoin de montrer
une propriété du mouvement brownien plan : certains angles formés par
les accroissements du brownien suffisent pour reconstituer toute la
trajectoire.