Hyperbolicity and ends of Schreier graphs
Hyperbolicité et bouts des graphes de Schreier
Résumé
We are interested in the topology at infinity of Schreier graphs.
Firstly, we study the quotient X/H of a geodesic proper hyperbolic metric space X by a quasiconvex-cocompact group H of isometries of X. We show that X/H is a hyperbolic space. Then we interested on ends of this space. We prove that if X satisfies a Bestvina-Mess condition then the number of ends of the quotient space X/H is equal to the number of connected components of the boundary of a convex core.
Then we apply these considerations to group theory. We ask if there exists an algorithm to compute the number of ends of a hyperbolic group relatively to a subgroup. The answer is negative in general : one can construct groups with subgroups for which such an algorithm can't exist. Nevertheless, if the subgroup is quasiconvex, we give an algorithm computing the number of relative ends. Moreover, we show that the boundary of a torsion free hyperbolic group with infinitely many ends is not locally path connected.
On s'intéresse à la topologie à l'infini des graphes de Schreier.
Tout d'abord, on étudie le quotient X/H d'un espace métrique géodésique propre hyperbolique X par un groupe quasi-convexe-cocompact H d'isométries de X. En particulier, on montre que X/H est un espace hyperbolique. On s'intéresse ensuite aux bouts de cet espace. On prouve que si X satisfait une condition de Bestvina-Mess, alors le nombre de bouts de l'espace quotient X/H est égal au nombre de composantes connexes du bord du cœur convexe.
On applique ensuite ces considérations à la théorie des groupes. En particulier, on se demande s'il existe un algorithme permettant de déterminer le nombre de bouts d'un groupe hyperbolique relativement à un sous-groupe. La réponse à cette question est négative en général : on peut construire des groupes et sous-groupes pour lesquels un tel algorithme n'existe pas. En revanche, si le sous-groupe est quasi-convexe, on donne un algorithme permettant de calculer le nombre de bouts relatifs. Par ailleurs, on montre que le bord d'un groupe hyperbolique sans torsion ayant une infinité de bouts n'est pas localement connexe par arcs.
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