On étudie l'équation de Hamilton-Jacobi évolutive du premier ordre, couplée avec une donnée initiale lipschitzienne. Le but est de comparer les solutions de viscosité et les solutions variationnelles pour cette équation, deux notions de solutions faibles qui coïncident en dynamique hamiltonienne convexe. Pour travailler dans un cadre pertinent pour les deux types de solutions, on doit d’abord construire une solution variationnelle sans hypothèse de compacité sur la variété ou le hamiltonien étudiés. On retrace dans ce cas la construction historique des solutions variationnelles, en détaillant les propriétés de la famille génératrice obtenue par la méthode des géodésiques brisées. Il en découle des estimées permettant d’obtenir la solution de viscosité à partir de la solution variationnelle par un procédé d’itération. Après avoir vérifié que la solution variationnelle construite coïncide effectivement avec la solution de viscosité pour un Hamiltonien convexe, on caractérise les Hamiltoniens intégrables pour lesquels cette propriété persiste, en étudiant attentivement des exemples élémentaires en dimension 1 et 2.