Numerical approximation of hyperbolic stochastic scalar conservation laws
Approximation numérique de lois de conservation hyperboliques stochastiques scalaires
Abstract
In this thesis, we study a scalar hyperbolic conservation law of order one, with
stochastic source term and non-linear flux. The source term can be seen as the
superposition of an infinity of Gaussian noises depending on the conserved quantity.
We give a definition of solution of this stochastic partial differential equation
(SPDE) with an intermediate point of view between that of the analyst (nonregular
solution in space, introduction of an additional kinetic variable) and that
of the probabilist (right continuous with left limits in time stochastic process
solution). Uniqueness of the solution is proved thanks to a doubling of variables
à la Kruzkov.
We study the stability of the conservation law, in order to give a general theorem
where the conditions of existence of a solution and conditions of convergence
of a sequence of approximate solutions towards the solution of the conservation
law are given. This study is done thanks to probabilistic tools : representation of
martingales in the form of stochastic integrals, existence of a probability space
on which the convergence of probability measures is equivalent to the almost
sure convergence of random variables.
To finish the study, we prove the existence of a solution thanks to the properties
of the approximation of the SPDE given by an explicit in time Finite Volumes
numerical scheme, then the convergence of this approximation towards the solution
of the SPDE. The tools used are those of the numerical analysis, especially
those of the Finite Volume Method, and those of the stochastic calculus (probabilistic
tools).
Nous étudions dans cette thèse, une loi de conservation scalaire hyperbolique
d’ordre un avec terme source stochastique et flux non-linéaire.
Le terme source stochastique peut être considéré comme la superposition d’une
infinité de bruits Gaussiens dépendants de la quantité conservée.
Nous donnons une définition de solution de cette équation aux dérivées partielles
stochastiques (EDPS) d’un point de vue intermédiaire entre celui de l’analyste
(solution non régulière en espace, introduction d’une variable supplémentaire
dite cinétique) et celui du probabiliste (solution processus stochastique continu
à droite limité à gauche en temps). L’unicité de la solution est prouvée grâce à
un dédoublement des variables à la Kruzkov.
Nous étudions la stabilité de la loi de conservation pour donner un théorème
général donnant les conditions d’existence d’une solution et les conditions de
convergence d’une suite de solutions approchées vers la solution de la loi de
conservation. Cette étude se fait grâce à des outils probabilistes : représentation
des martingales sous forme d’intégrales stochastiques, existence d’un espace
probabilisé sur lequel la convergence de lois de probabilités est équivalente à la
convergence presque sûre de variables aléatoires.
Pour finir l’étude, nous prouvons l’existence d’une solution grâce aux propriétés
de l’approximation de l’EDPS par un schéma numérique des Volumes Finis explicite
en temps, puis la convergence de cette approximation vers la solution de
l’EDPS. Les outils utilisés sont ceux de l’analyse, spécifiquement ceux de la méthode
des Volumes Finis en déterministe, auxquels il faut ajouter ceux du calcul
stochastique (outils probabilistes).
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