Durant les deux dernières décennies, de nombreux efforts ont été apportés pour comprendre le processus de formation des structures de l'Univers jeune. Les avancées dans les technologies observationnelles atteintes aujourd'hui permettent d'observer des galaxies de plus en plus loin, y compris celles responsables de la réionisation cosmique qui a eu lors du premier milliard d'années de l'Univers. L'objectif principal de cette thèse a été de poser des contraintes sur la nature et l'abondance des sources responsables de la réionisation cosmique. Plus précisément, l'étude s'est portée sur les galaxies qui forment des étoiles et qui ont une émission Lyman-alpha (LAE) entre z ~ 3 et 6.7. Il est à noter que cette thèse a été réalisée au sein du consortium MUSE, tout nouvel instrument installé au VLT en janvier 2014 dont nous avons exploité les données du GTO. Ce travail de thèse a permis de confirmer la puissance inégalée de MUSE au niveau de la détection et de l'étude de sources extragalactiques faibles sans aucune présélection. Nous avons observé quatre amas-lentilles dont l'amplification de la lumière permet la détection de sources à faible luminosité, au prix d'une diminution du volume d'Univers observé. Nous nous sommes d'abord focalisés sur l'étude de l'amas de galaxies Abell 1689 afin de structurer une méthodologie applicable aux autres amas. En comparant la densité volumique des LAEs détectés aux différentes fonctions de luminosité (FdL) de la littérature, nous sommes arrivés à la conclusion suivante : la pente de la loi de puissance que décrit la fonction de Schechter pour la partie la plus faible est plus petite que alpha <= -1.5, ce qui signifie que le nombre de LAEs croît extrêment vite vers les faibles luminosités. Nous avons ensuite appliqué cette méthode aux autres amas de notre échantillon observés par MUSE. Les LAEs identifiés et mesurés dans ces amas sont typiquement dix fois plus faibles que ceux observés dans les champs vides (39 < log(Lya) < 42.5). Environ un tiers de ces LAEs n'a pas de contrepartie dans le continuum jusqu'à AB ~ 28 sur les images HST et n'aurait donc jamais été vu sur des relevés pointés. Le catalogue final contient plus de 150 LAEs, ce qui nous a permis d'étudier la contribution des objets les plus faibles, ainsi que l'évolution de la pente en fonction du redshift. Les résultats obtenus semblent confirmer que la pente alpha est proche de -2 pour l'ensemble des LAEs compris entre 2.9 < z < 6.7. On observe aussi une évolution de alpha, qui passe de -1.8 à -1.95 entre z ~ 3-4 et z ~ 5-7, un résultat original et non dépendant des données utilisées pour la partie brillante de la FdL. L'intégration de cette FdL permet ensuite de calculer la densité de photons ionisants émis par ces LAEs et de déterminer leur impact relatif sur la réionisation cosmique. A l'avenir, la profondeur de champ atteinte par les données du James Webb Space Telescope (JWST) va repousser la limite de détection de ces galaxies jusqu'à z ~ 8. L'utilisation de spectrographes dans le proche infrarouge comme MOSFIRE/Keck, KMOS/VLT ou le tout récent EMIR/GTC permettent déjà de confirmer des candidats à z >= 7. Cette thèse a apporté des nouvelles contraintes sur la partie faible de la FdL des LAEs pour un redshift allant jusqu'à z ~ 6, un début donc de ce que l'on va pouvoir faire dans les années à venir pour des redshifts de l'ordre de z ~ 7-8.