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Theses Year : 2018

Metastability of the Blume-Capel model

Métastabilité du modèle de Blume-Capel

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Abstract

This thesis is about the study of the metastability of the Blume-Capel model. This model, introduced in 1966, is a nearest-neighbor spin system where the single spin variable takes three possible values +1, -1, 0. One can interpret it as a system ofparticles with spins. The value 0 of the spin corresponds to the absence of particle, whereas the values ± correspond to the presence of a particle with the respective spin. The thesis is divided in two parts. The first part is an article published in Journal of Statistical Physics with C. Landim. We prove the metastable behavior of the Blume-Capel model when the temperature decreases to 0 on a fixed size torus.The second part is dedicated to the generalization of these results to the case of a torus which size increases to +1 as the temperature decreases to 0. For this model, three metastable states -1, 0,+1 remain on a very large time scale, where -1, 0,+1 stand for the configuration where the torus is respectively filled with -1’s, 0’s and +1’s. We prove that starting from -1, the process visits 0 before reaching +1 with very high probability. We also caracterize the critical configurations and provide sharp estimates of the transition times.
Les travaux de cette thèse portent sur l’étude de la métastabilité du modèle de Blume-Capel. Il s’agit d’un modèle introduit en 1966 dans lequel évoluent au cours du temps des spins à trois états +1, -1, 0, représentant respectivement une particulechargée positivement, négativement, et l’absence de particule, sur un réseau. La thèse est structurée en deux parties. La première partie contient un travail en collaboration avec C. Landim qui est paru dans la revue Journal of Statistical Physics. L’article traite du comportement métastable du modèle de Blume-Capel lorsque la température tend vers 0, dans le cas où la taille du domaine dans lequel vit le processus est fixée durant l’évolution. La seconde partie est consacrée à l’extension des résultats du premier papier au cas où la taille de la boite croît exponentiellement vite vers +1 lorsque la température décroît vers 0. Pour ce modèle, sur une très grande échelle de temps, trois états métastables subsistent, à savoir les états où le tore est respectivement remplis par des spins négatifs, positifs, ou "nuls". Il est démontré qu’avec probabilité 1, partant de la configuration n’ayant que des spins négatifs, le processus visite la configuration n’ayant que des spins "nuls" avant de visiter la configuration n’ayant que des spins positifs.Les résultats de la thèse consistent notamment à caractériser les configurations critiques et à fournir des estimations précises des temps d’atteinte des états stables.
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Dates and versions

tel-01829894 , version 1 (04-07-2018)

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  • HAL Id : tel-01829894 , version 1

Cite

Paul Lemire. Metastability of the Blume-Capel model. Numerical Analysis [math.NA]. Normandie Université, 2018. English. ⟨NNT : 2018NORMR022⟩. ⟨tel-01829894⟩
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