Optimization and Control of Large Systems: Fighting the Curse of Dimensionality
Optimisation et contrôle de systèmes à grande échelle: comment combattre l’optimisation combinatoire
Résumé
The goal of this thesis is to provide methods for the control and the
optimization of large-scale systems, starting from stochastic models that
approximate its behavior. However, such models suffer from the curse of
dimensionality: the number of states needed to represent a system explodes
when the size of the system grows.
In a first part, we present two different methods to reduce the complexity
of the model by aggregating the states of the different objects. These two
methods are illustrated by analyzing the performance of a distributed load
balancing strategy, namely work-stealing. We first show how the use of a
potential function leads to a tight analysis of the total completion time
of a bag of tasks. Then we show how a mean field approximation can be used
to study the steady-state of a grid scheduled by work-stealing.
Then, we focus on the optimal control of large stochastic systems. We
extend classical mean field methods to study the controlled behavior of
large systems. We show that under mild assumptions, solving an optimal
control problem for a system with a large number of objects can be reduced
to the solving of a problem for a deterministic system as the number of
objects grows large. In practice, this allows one to evaluate the
performance of a policy and provide a way to asymptotically solve problems
that used to be intractable.
The last part of the document studies two different problems. We first
consider the question of how to distribute a infinite number of tasks on an
infinite tree, as evenly as possible. Secondly we study a distributed power
control algorithm in wireless network whose goal is to efficiently balance
the trade-off between the delay and the power spent per transmitted packet.
Dans cette thèse, nous étudions des méthodes permettant le contrôle et
l'optimisation de systèmes à grande échelle à travers l'étude de modèles
stochastiques. Les modèles classiques souffrent tous du même problème: le
nombre d'états pour décrire le système explose lorsque la taille du système
étudié grandit.
Dans une première partie, nous présentons deux méthodes différentes pour
réduire la complexité du modèle en agrégeant les états des différents
objets: l'introduction d'une fonction potentielle manipulée par un
adversaire et les modèles champ moyen. Nous montrons comment ces méthodes
peuvent être appliquées pour étudier le vol de travail.
Puis, nous nous intéressons au contrôle optimal de grands systèmes
stochastiques. Nous étendons les résultats classiques champ moyen à des
problèmes d'optimisation et de contrôle. Nous montrons que sous des
hypothèses faibles, résoudre le problème d'optimisation initial est
asymptotiquement équivalent à la résolution d'un problème d'optimisation
déterministe. Cela permet en pratique d'évaluer les performances d'une
politique de façon beaucoup plus rapide et de résoudre des problèmes
jusqu'ici impossibles.
Dans la dernière partie, nous étudions deux problèmes différents. Dans un
premier temps, nous considerons le problème de distribuer une infinité de
tâches sur un arbre infini de manière la plus régulière possible. Puis
nous étudions un mécanisme de contrôle de puissance dans des réseaux sans
fils ayant pour but de trouver un compromis entre puissance consommée et
délais.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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