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Theses Year : 2018

Counting points on hyperelliptic curves in large characteristic : algorithms and complexity

Comptage de points de courbes hyperelliptiques en grande caractéristique : algorithmes et complexité

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Abstract

Counting points on algebraic curves has drawn a lot of attention due to its many applications from number theory and arithmetic geometry to cryptography and coding theory. In this thesis, we focus on counting points on hyperelliptic curves over finite fields of large characteristic $p$. In this setting, the most suitable algorithms are currently those of Schoof and Pila, because their complexities are polynomial in $\log q$. However, their dependency in the genus $g$ of the curve is exponential, and this is already painful even in genus 3. Our contributions mainly consist of establishing new complexity bounds with a smaller dependency in $g$ of the exponent of $\log p$. For hyperelliptic curves, previous work showed that it was quasi-quadratic, and we reduced it to a linear dependency. Restricting to more special families of hyperelliptic curves with explicit real multiplication (RM), we obtained a constant bound for this exponent.In genus 3, we proposed an algorithm based on those of Schoof and Gaudry-Harley-Schost whose complexity is prohibitive in general, but turns out to be reasonable when the input curves have explicit RM. In this more favorable case, we were able to count points on a hyperelliptic curve defined over a 64-bit prime field
Le comptage de points de courbes algébriques est une primitive essentielle en théorie des nombres, avec des applications en cryptographie, en géométrie arithmétique et pour les codes correcteurs. Dans cette thèse, nous nous intéressons plus particulièrement au cas de courbes hyperelliptiques définies sur des corps finis de grande caractéristique $p$. Dans ce cas de figure, les algorithmes dérivés de ceux de Schoof et Pila sont actuellement les plus adaptés car leur complexité est polynomiale en $\log p$. En revanche, la dépendance en le genre $g$ de la courbe est exponentielle et se fait cruellement sentir même pour $g=3$. Nos contributions consistent principalement à obtenir de nouvelles bornes pour la dépendance en $g$ de l'exposant de $\log p$. Dans le cas de courbes hyperelliptiques, de précédents travaux donnaient une borne quasi-quadratique que nous avons pu ramener à linéaire, et même constante dans le cas très particuliers de familles de courbes dites à multiplication réelle (RM). En genre $3$, nous avons proposé un algorithme inspiré de ceux de Schoof et de Gaudry-Harley-Schost dont la complexité, en général prohibitive, devient très raisonnable dans le cas de courbes RM. Nous avons ainsi pu réaliser des expériences pratiques et compter les points d'une courbe hyperelliptique de genre $3$ pour un $p$ de 64 bits
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tel-01876314 , version 1 (18-09-2018)

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  • HAL Id : tel-01876314 , version 1

Cite

Simon Abelard. Counting points on hyperelliptic curves in large characteristic : algorithms and complexity. Number Theory [math.NT]. Université de Lorraine, 2018. English. ⟨NNT : 2018LORR0104⟩. ⟨tel-01876314⟩
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