Multiobjective optimization under uncertainties : a descent algorithm
Optimisation multicritère sous incertitudes : un algorithme de descente stochastique
Résumé
This thesis deals with unconstrained multiobjective optimization when the objectives
are written as expectations of random functions. The randomness is modelled through
random variables and we consider that it does not impact the optimization variables of
the problem. A descent algorithm is proposed which gives the Pareto solutions without
having to estimate the expectancies. Using convex analysis results, it is possible to
construct a common descent vector that is a descent vector for all the objectives
simultaneously, for a given draw of the random variables. An iterative sequence is then
built and consists in descending following this common descent vector calculated at
the current point and for a single independent draw of the random variables. This
construction avoids the costly estimation of the expectancies at each step of the
algorithm. It is then possible to prove the mean square and almost sure convergence
of the sequence towards Pareto solutions of the problem and in the mean time, it
is possible to obtain a speed rate result when the step size sequence is well chosen.
After having proposed some numerical enhancements of the algorithm, it is tested on
multiple test cases against two classical algorithms that can be found in the literature.
The results of the three algorithms are then compared using two measures that are
designed for multiobjective optimization and analysed through performance profiles.
Methods are then proposed to handle two types of constraint and are illustrated on
mechanical structure optimization problems. The first method consists in penalising the
objectives functions using exact penalty functions when the constraint is deterministic.
When the constraint is expressed as a probability, the constraint is replaced by an
additional objective. The probability is then reformulated as an expectation of an
indicator function and this new problem is solved using the algorithm proposed in the
thesis without having to estimate the probability during the optimization process.
Cette thèse s’intéresse à l’optimisation multiobjectif sans contrainte lorsque les objectifs
sont exprimés comme des espérances de fonctions aléatoires. L’aléa est modélisé par
l’intermédiaire de variables aléatoires et on considère qu’il n’impacte pas les variables
d’optimisation du problème. La thèse consiste à proposer un algorithme de descente qui
permet l’obtention des solutions de Pareto du problème d’optimisation ainsi écrit. En
utilisant des résultats d’analyse convexe, il est possible de construire un vecteur de descente
commun à l’ensemble des objectifs du problème d’optimisation pour un tirage des
variables aléatoires donné. Une suite itérative consistant à descendre dans la direction
du vecteur de descente commun calculé au point courant et pour un tirage aléatoire
unique et indépendant des variables aléatoires est alors construite. De cette manière,
l’estimation coûteuse des espérances à chaque étape du processus d’optimisation n’est
pas nécessaire. Il est possible de prouver les convergences en norme et presque sûre
de cette suite vers les solutions de Pareto du problème d’optimisation en espérance
et d’obtenir un résultat de vitesse de convergence lorsque la suite de pas de descente
est bien choisie. Après avoir proposé diverses méthodes numériques d’amélioration de
l’algorithme, un ensemble d’essais numériques est mené et les résultats de l’algorithme
proposé sont comparés à ceux obtenus par deux autres algorithmes classiques de la
littérature. Les résultats obtenus sont comparés par l’intermédiaire de mesures adaptées
à l’optimisation multiobjectif et sont analysés par le biais de profils de performance.
Des méthodes sont alors proposées pour prendre en compte deux types de contrainte
et sont illustrées sur des problèmes d’optimisation de structures mécaniques. Une
première méthode consiste à pénaliser les objectifs par l’intermédiaire de fonctions
de pénalisation exacte lorsque la contrainte est décrite par une fonction déterministe.
Pour les contraintes probabilistes, on propose de remplacer les contraintes par des
objectifs supplémentaires, ces contraintes probabilistes étant alors reformulées comme
des espérances de fonctions indicatrices, le problème étant résolu à l’aide de l’algorithme
proposé dans la thèse sans avoir à estimer les probabilités des contraintes à chaque
itération.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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