The Swiss-Cheese operad and applications to the space of long knots
Etude de l’opérade Swiss-cheese et applications à la théorie des longs noeuds
Résumé
The aim of this work is to study the Swiss-Cheese operad, denoted by SCd, which is a relative version of the little cubes operad Cd.We show that the classical theorems in the context of uncolored operads can begeneralized to the relative case. From a pointed operad O (i.e. a two colored operad under π0(SC₁) ), webuild two semi-cosimplicial spaces (Oc ; Oo) such that the pair of semi-totalizations is weakly equivalentto an explicit SC₂-algebra. In particular, we prove that the pair (ℒ₁ ; n ; ℒm; n), composed of the space oflong knots and the space of long links, is weakly equivalent to an explicit SC₂-algebra.We study two homology theories, namely singular and Hochschild homology, of a pair of semicosimplicialspaces arising from a pointed operad. In this context, (H∗(sTot(Oc)) ; H∗(sTot(Oo))) and (HH∗(Oc) ; HH∗(Oo)) are equipped with an explicit H∗(SC₂)-algebra structure. We show that the mapintroduced by Bousfield between these two pairs is a morphism of H∗(SC₂)-algebras. This result helps us to understand the pair of spectral sequences computing (H∗(sTot(Oc)) ; H∗(sTot(Oo))). In particular wegive some conditions on a multiplicative symmetric operad so that the E² pages of the Bousfield spectral sequences are weakly equivalent to H∗(sTot(Oc)) and H∗(sTot(Oo)) as H∗(SC₂)-algebras. Finally we generalize our previous results, relying on a conjecture by Dwyer and Hess. We define acolored operad CCd and obtain an SCd₊₁-algebra from an operad morphism CCd → O. As a consequence, we prove that the couple of topological spaces (ℒᵈ₁ ; n ; T∞Imm(ᴷ))(Rᵈ ; Rⁿ)), where Ld₁;n is the space of long knots from Rd to Rⁿ and where T∞Imm(k)(Rᵈ ; Rⁿ) is the polynomial approximation of the (k)-immersions,is weakly equivalent to an explicit SCd+₁-algebra.
L’objectif de ce travail est l’étude de l’opérade Swiss-Cheese SCd qui est une version relative del’opérade des petits cubes Cd. On montre que les théorèmes classiques dans le cadre des opérades non colorées admettent des analogues dans le cas relatif. Il est ainsi possible d’extraire d’une opérade pointée O (i.e. un opérade colorée sous π₀(SC₁) ) un couple d’espaces semi-cosimpliciaux (Oc ; O₀) dont les semitotalisations sont faiblement équivalentes à une SC₂-algèbre explicite. En particulier, on prouve que le couple (ℒ1 ; n ; ℒm ; n), composé de l’espace des longs nœuds et de l’espace des longs entrelacs à m brins, est faiblement équivalent à une SC₂-algèbre explicite. Dans un second temps, on s’intéresse aux couples d’homologies singulières et d’homologies de Hochschild associés à une paire d’espaces semi-cosimpliciaux provenant d’une opérade pointée. Dans ce contexte, les couples (H∗ (sTot(Oc)) ; H∗ (sTot(O₀))) et (HH∗(Oc) ; HH∗(O₀)) possèdent tous deux une structure de H∗(SC₂)-algèbre explicite. On montre alors que le morphisme de Bousfield entre ces deux couples préserve les structures de H∗(SC₂)-algèbres. Cela nous permet de mieux appréhender le couple de suites spectrales de Bousfield calculant (H∗(sTot(Oc)) ; H∗(sTot(O₀))). En particulier, on énonce un critère permettant de faire le lien entre le couple d’homologies singulières issu d’une opérade symétrique multiplicative topologique et la page E² des suites spectrales de Bousfield. La dernière étape de notre étude consiste à généraliser les précédents résultats. Pour cela, on se base sur une conjecture de Dwyer et Hess qui vise à identifier une Cd₊₁-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades Cd → O. En admettant ce résultat, on introduit une opérade colorée CCd telle que l’on peut extraire une SCd₊₁-algèbre à partir d’un morphisme d’opérades colorées CCd→ O. On montre ainsi que le couple d’espaces (ℒᵈ₁ ; n ; T∞Imm(ᴷ))(Rᵈ ; Rⁿ), composé de l’espace des longs nœuds en dimension d et de l’approximation polynomiale des (k)-immersions, est faiblement équivalent à une SCd₊₁-algèbre explicite.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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