Parabolic Induction and Geometry of Orbital Varieties for GL(n)
Induction parabolique et géométrie des variétés orbitales pour GLn
Abstract
Ariki and Ginzburg, after the previous work of Zelevinsky on orbital varieties,proved that multiplicities in a total parabolically induced representations aregiven by the value at q = 1 of Kazhdan-Lusztig Polynomials associated to thesymmetric groups. In my thesis I introduce the notion of partial derivativewhich refines the Zelevinsky derivative and show that it can be identified withthe formal exponential of the q-derivative of Kashiwara with q=1. With thehelp of this notion, I exploit the geometry of the nilpotent orbital varietiesto construct a symmetrization process for the multi-segments, which allowsme to proove a conjecture of Zelevinsky on the property of the independenceof the total parabolic induction. On the other hand, I develop a strategyto calculate the multiplicity in a general parabolic induction by using theLusztig product of perverse sheaves.
Orbitales, ont démontré que les multiplicités dans une representation induitetotale sont données par les valeurs en q = 1 des polynômes de Kazhdan-Lusztig associés aux groupes symétriques. Dans ma thèse, j’ai introduit lanotion de dérivée partielle qui raffine celle de Zelevinksy et s’identifie enq = 1, à l’exponentielle formelle de la q-dérivée de Kashiwara sur l’algèbrequantique. A l’aide de cette notion et en explorant la géométrie des variétésorbitales, je construis une procédure de symétrisation des multisegments mepermettant, en particulier, de prouver une conjecture de Zelevinsky portantsur une propiété d’indépendance de l’induite parabolique totale. Je développepar ailleurs une stratégie afin de calculer les multiplicités dans une induiteparabolique générale en utilisant le produit de faisceaux pervers de Lusztig.
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