Blossoming bijections, multitriangulations : What about other surfaces?
Bijections bourgeonnantes, multitriangulations : quid des surfaces quelconques?
Résumé
A combinatorial map is the embedding of a graph on a surface (orientable or not), considered up to deformation. We describe a bijective method, called opening, that allows to reduce a map into a smaller map on the same surface, with only one face, along with some additional decorations called blossoms. This construction generalizes the opening described in the case of planar maps in [Sch97].Several papers from the 90's used advanced calculation methods to obtain properties on the generating series of maps on a given surface. In particular, in case the surface is orientable, this series can be written as a rational function of the generating series of some trees. This is valid both in case the maps are enumerated by their number of edges only [BenCan91], by both their number of vertices and faces [BenCanRic93]. A similar weaker result was also obtained in the case of non-orientable surfaces [AG00]. Actually, these rationality properties concerning the generating series of maps imply strong structural properties concerning the maps themselves, and providing a combinatorial interpretation of these properties has been an important motivation in the development of the bijective combinatorics of maps.The opening algorithm that we describe produces a map that can be further successively decomposed into smaller maps along with additional decorations. A deep analysis of the maps obtained this way, and their generating series, then allows to recover in a combinatorial way the rationality results described earlier.A k-triangulation of a finite polygon is a set of diagonals, maximal for the set-inclusion, such that no k+1 of its diagonals are pairwise crossing. A k-star is a set of 2k+1 points and 2k+1 diagonals such that each point is adjacent to its two opposite points. The work of [PilSan07] showed that a k-triangulation can be decomposed into a complex k-stars, and that multitriangulations can be obtained one from another by a succession of local elementary operations called flips.Our purpose is to extend these results to the case of multitriangulations on any surface. In this regard, we first study a class of multitriangulations of a polygon with an infinite number of sides, and extend to this context the main results of [PilSan07]. Using the classical construction of the universal cover of a surface, we then hope to reduce the case of a multitriangulations in any surface to that of a periodic multitriangulation of an infinite polygon. We present some element of such a proof, along with some conjectures that would allow to conclude.
Les cartes combinatoires sont des dessins de graphes sur des surfaces (orientable ou non), considérés à déformation près. On propose une méthode bijective de découpage d'une carte, appelée ouverture, qui à une carte associe une autre carte, dessinée sur la même surface, possédant une unique face, et munie de décorations supplémentaires appelées bourgeons. Cette construction généralise l'ouverture décrite pour le cas des cartes planaires dans [Sch97].Plusieurs travaux datant des années 90 ont permis de démontrer par des méthodes calculatoires poussées des propriétés concernant la série génératrice des cartes d'une surface donnée. En particulier, dans le cas d'une surface orientable, cette série peut s'écrire comme une fonction rationnelle d'une certaine série d'arbres. Ceci est valable que les cartes soient énumérées simplement par arêtes [BenCan91], ou également par sommets et faces [BenCanRic93]. Un résultat similaire plus faible peut également être exprimé dans le cas des cartes non orientables [AG00]. Ces propriétés de rationalité des séries génératrices de cartes expriment en fait des propriétés combinatoires structurelles fortes concernant les cartes elles-même, et la recherche d'une interprétation combinatoire de ces propriétés a été un moteur important du développement de la combinatoire bijective des cartes.L'utilisation de notre algorithme d'ouverture produit une carte qui peut à son tour être décomposée successivement en cartes plus petites munies de décorations additionnelles.Après une analyse approfondie des objets ainsi obtenus et de leur séries génératrices, ceci permet de démontrer combinatoirement les résultats de rationalité évoqués plus haut.Une k-triangulation d'un polygone fini est un ensemble maximal (pour l'inclusion) de diagonales, qui ne possède pas k+1 diagonales se croisant 2 à 2. On appelle k-étoile un ensemble de 2k+1 points et 2k+1 diagonales tel que chaque point est relié à ses deux points opposés. Les travaux de [PilSan07] ont permis de montrer qu'une k-triangulation peut être décomposée en un complexe de k-étoiles, et que les multitriangulations peuvent être obtenue l'une de l'autre par une succession d'opérations élémentaires appelées flips.Notre objectif est d'étendre ces résultats au cas des multitriangulations d'une surface quelconque. Dans cette optique, on commence par étudier une certaine classe de multitriangulations d'un polygone ayant un nombre infini de côtés, et à étendre à ce contexte les résultats principaux de [PilSan07]. En utilisant la construction classique du recouvrement universelle d'une surface quelconque, on espère ensuite pouvoir réduire l'étude d'une multitriangulations quelconque à celle d'une multitriangulation périodique d'un polygone infini, et on présente dans ce sens une ébauche de preuve, sous forme de plusieurs conjectures élémentaires.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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