Matrix decompositions and algorithmic applications to (hyper)graphs
Décomposition de matrices et applications algorithmiques aux (hyper)graphes
Résumé
In the last decades, considerable efforts have been spent to characterize what makes NP-hard problems tractable. A successful approach in this line of research is the theory of parameterized complexity introduced by Downey and Fellows in the nineties.In this framework, the complexity of a problem is not measured only in terms of the input size, but also in terms of a parameter on the input. One of the most well-studied parameters is tree-width, a graph parameter which measures how close a graph is to the topological structure of a tree.It appears that tree-width has numerous structural properties and algorithmic applications.However, only sparse graph classes can have bounded tree-width. But, many NP-hard problems are tractable on dense graph classes. Most of the time, this tractability can be explained by the ability of these graphs to be recursively decomposable along vertex bipartitions (A,B) where the adjacency between A and B is simple to describe. A lot of graph parameters -- called width measures -- have been defined to characterize this ability, the most remarkable ones are certainly clique-width, rank-width, and mim-width. In this thesis, we study the algorithmic properties of these width measures. We provide a framework that generalizes and simplifies the tools developed for tree-width and for problems with a constraint of acyclicity or connectivity such as Connected Vertex Cover, Connected Dominating Set, Feedback Vertex Set, etc. For all these problems, we obtain 2^{O(k)}⋅n^{O(1)}, 2^{O(k log(k))}⋅n^{O(1)}, 2^{O(k²)}⋅n^{O(1)} and n^{O(k)} time algorithms parameterized respectively by clique-width, Q-rank-width, rank-width and mim-width. We also prove that there exists an algorithm solving Hamiltonian Cycle in time n^{O(k)}, when a clique-width decomposition of width k is given. Finally, we prove that we can count in polynomial time the minimal transversals of β-acyclic hypergraphs and the minimal dominating sets of strongly chordal graphs. All these results offer promising perspectives towards a generalization of width measures and their algorithmic applications.
Durant ces dernières décennies, d'importants efforts et beaucoup de café ont été dépensés en vue de caractériser les instances faciles des problèmes NP-difficiles. Dans ce domaine de recherche, une approche s'avère être redoutablement efficace : la théorie de la complexité paramétrée introduite par Downey et Fellows dans les années 90.Dans cette théorie, la complexité d'un problème n'est plus mesurée uniquement en fonction de la taille de l'instance, mais aussi en fonction d'un paramètre. Dans cette boite à outils, la largeur arborescente est sans nul doute un des paramètres de graphe les plus étudiés. Ce paramètre mesure à quel point un graphe est proche de la structure topologique d'un arbre.La largeur arborescente a de nombreuses propriétés algorithmiques et structurelles.Néanmoins, malgré l'immense intérêt suscité par la largeur arborescente, seules les classes de graphes peu denses peuvent avoir une largeur arborescente bornée. Mais, de nombreux problèmes NP-difficiles s'avèrent faciles dans des classes de graphes denses. La plupart du temps, cela peut s'expliquer par l'aptitude de ces graphes à se décomposer récursivement en bipartitions de sommets (A,B) où le voisinage entre A et B possède une structure simple. De nombreux paramètres -- appelés largeurs -- ont été introduits pour caractériser cette aptitude, les plus remarquables sont certainement la largeur de clique , la largeur de rang, la largeur booléenne et la largeur de couplage induit. Dans cette thèse, nous étudions les propriétés algorithmiques de ces largeurs. Nous proposons une méthode qui généralise et simplifie les outils développés pour la largeur arborescente et les problèmes admettant une contrainte d'acyclicité ou de connexité tel que Couverture Connexe, Dominant Connexe, Coupe Cycle, etc. Pour tous ces problèmes, nous obtenons des algorithmes s'exécutant en temps 2^{O(k)}⋅n^{O(1)}, 2^{O(k log(k))}⋅n^{O(1)}, 2^{O(k²)}⋅n^{O(1)} et n^{O(k)} avec k étant, respectivement, la largeur de clique, la largeur de Q-rang, la larguer de rang et la largueur de couplage induit. On prouve aussi qu'il existe un algorithme pour Cycle Hamiltonien s'exécutant en temps n^{O(k)} quand une décomposition de largeur de clique k est donné en entrée. Finalement, nous prouvons qu'on peut compter en temps polynomial le nombre de transversaux minimaux d'hypergraphes β-acyclique ainsi que le nombre de dominants minimaux de graphes fortement triangulés. Tous ces résultats offrent des pistes prometteuses en vue d'une généralisation des largeurs et de leurs applications algorithmiques.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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