Cohomology of PGL_2 over imaginary quadratic integers
Cohomologie de PGL_2 sur des anneaux d'entiers quadratiques imaginaires
Résumé
Let $K={\bf Q}(\sqrt{-d})$ be an imaginary quadratic field, and $o_{-d}$ its ring of integers. Consider $\Gamma = $PSL$_2(o_{-d})$ as a subgroup of the group PSL$_2{\bf C}$ of isometries of hyperbolic 3-space ${\bf H}^3$. The cohomological dimension of $\Gamma$ is 2. In this paper, the author uses the reduction theory of G. Harder to construct a two-dimensional, $\Gamma$-invariant retract of ${\bf H}^3$.
This retract has a natural cell structure, the action of $\Gamma$ is cellular, and the quotient by $\Gamma$ is compact. In the Euclidean cases $(d=1,2,3,7,11)$, explicit calculations are given of a fundamental domain for the $\Gamma$-action on the retract, of stabilizers for the cells, and of the quotient. In these cases (as for all class number one cases), the fundamental domains coincide with the lower boundary of the 3-dimensional fundamental domains of Bianchi and Humbert, though for class number greater than one, they do not. The paper concludes with a few cohomology computations for PSL$_2$ of the Gaussian integers $(d=1)$.
This abstract is due to K. Vogtmann.
Soit $K={\bf Q}(\sqrt{-d})$ un corps quadratique imaginaire, et $o_{-d}$ son anneau d'entiers. Considérons $\Gamma = $PSL$_2(o_{-d})$ comme sous-groupe du groupe PSL$_2{\bf C}$ d'isométries de l'espace hyperbolique ${\bf H}^3$ à 3 dimensions. La dimension cohomologique de $\Gamma$ est 2. Cette thèse se sert de la théorie de réduction de G. Harder pour construire un rétract $\Gamma$-équivariant à 2 dimensions de ${\bf H}^3$.
Ce rétract admet une structure cellulaire naturelle, l'opération de $\Gamma$ est cellulaire, et le quotient par $\Gamma$ est compact. Dans les cas Euclidiens $(d=1,2,3,7,11)$, des calculs explicites sont donnés pour un domaine fondamental de la $\Gamma$-opération sur le rétract, obtenant les stabiliateurs des cellules et l'espace quotient. Dans ces cas (comme pour tous les cas d'anneau principal), les domaines fondamentaux coincident avec le bord inférieur des domaines fondamentaux à 3 dimensions de Bianchi et Humbert, mais pour des nombres de classes supérieurs à 1, ils ne coincident pas. La thèse conclut avec quelques calcul de cohomologie pour PSL$_2$ sur les entiers de Gauss $(d=1)$.
Ce résumé est dû à K. Vogtmann.
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