Sharp estimates for linear and nonlinear wave equations via the Penrose transform
Estimaciónes óptimas para ecuaciones de ondas lineales y no lineales por medio de la transformada de Penrose
Estimations optimales pour équations des ondes linéaires et non linéaires par la transformée de Penrose
Résumé
We apply the Penrose transform, which is a basic tool of relativistic physics, to the study of sharp estimates for linear and nonlinear wave equations. We disprove a conjecture of Foschi, regarding extremizers for the Strichartz inequality with data in the Sobolev space Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ), for even d ⩾2. On the other hand, we provide evidence to support the conjecture in odd dimensions and refine his sharp inequality in R¹⁺³, adding a term proportional to the distance of the initial data from the set of extremizers. Using this, we provide an asymptotic formula for the Strichartz norm of small solutions to the cubic wave equation in Minkowski space. The leading coefficient is given by Foschi’s sharp constant. We calculate the constant in the second term, whose absolute value and sign changes depending on whether the equation is focusing or defocusing.
Aplicamos la transformada de Penrose, una herramienta básica de la fı́sica relativista, a unas estimaciones óptimas para ecuaciones de ondas lineales y no lineales. Invalidamos una conjetura de Foschi, sobre extremizadores para la estimación de Strichartz con datos en el espaciode Sobolev Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ), para d ⩾2 par. Por otro lado, vamos a dar indicios en favor de su conjetura en dimension impar, ası́ como una versión refinada de su desigualdad óptimaen R¹⁺³, añadiendo un término proporcional a la distancia de los datos iniciales del conjuntode puntos extremales. Utilizando este resultado, conseguimos una fórmula asintótica para la norma de Strichartz de soluciones pequeñas de la ecuación de ondas cúbica en el espacio-tiempo de Minkowski. El coeficiente principal coincide con la constante óptima de Foschi. Calculamos explı́citamente el coeficiente del otro término, cuyo módulo y signo cambian dependiendo de siestamos en el caso focusing o defocusing.
Nous appliquons la transformée de Penrose, qui est un outil basique de la physique relativiste, à des estimations optimales pour les équations des ondes linéaire et non linéaire. Nous infirmons une conjecture de Foschi concernant les points extrémaux de l’inégalité de Strichartz à données dans l’espace de Sobolev Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ) où d ⩾2 est pair. En revanche, nous donnons des indications appuyant cette conjecture en dimension impaire, ainsi qu’une version raffinée de son inégalité optimale sur R¹⁺³, en ajoutant un terme proportionnel à la distance des données initiales de l’ensemble des points extrémaux. À l’aide de ce résultat, nous obtenons une formule asymptotique pour la norme de Strichartz des solutions petites de l’équation des ondes cubique dans l’espace-temps de Minkowski. Le coefficient principal est donné par la constante optimale de Foschi. Nous calculons le terme suivant, qui change de signe et de valeur absolue selon que la non-linéarité est focalisante ou défocalisante.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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