Directed polymers and the KPZ equation - TEL - Thèses en ligne Accéder directement au contenu
Thèse Année : 2019

Directed polymers and the KPZ equation

Polymères dirigés et équation KPZ

Résumé

This thesis is dedicated to the study of the links between directed polymers in random environment, the stochastic heat equation with multiplicative noise (SHE) and the Kardar-Parisi-Zhang equation (KPZ), under different space dimensions. In dimension d= 1, the KPZ equation and the SHE equation belong to a particular class of models which feature non-standard scaling coefficients and non-standard scaling limits. This class is called the KPZ universality class. It is possible to prove that some specific polymer models, which are called exactly solvable models, belong to this class, but one of the open problems in this field is to show that this result should be universal, that is that polymer models should belong to the KPZ universality class for very general types of environment. Nevertheless, one can prove that under a scaling limit, the point-to-point partition function of general polymer models converges towards the solution of the SHE equation, which can be seen as a weak universality result for the polymer models. In higher space dimension, it is not clear whether the KPZ and SHE equations should be well-posed. In order to study these equations in higher dimension, we will consider them with a noise that is be regularized in space (in this case, the solutions of the equations are well-defined) and try to look at the limiting behaviour of the solutions when the regularization is removed. It turns out that for a certain choice of parameters, the solutions of the regularized equations are linked to the partition functions of a directed polymer model, and one can use standard polymer techniques to study the asymptotic behaviour of the solutions
Cette thèse est consacrée à l’étude des liens entre les polymères dirigés en milieu aléatoire,l’équation de la chaleur stochastique avec bruit multiplicatif (SHE) et l’équation Kardar-Parisi-Zhang (KPZ), en différentes dimensions d’espace. En dimension d = 1, l’équation KPZ et l’équation SHE font partie d’une classe de modèle possédant des coefficients d’échelle et des limites d’échelle non-standards, appelée la classe d’universalité KPZ. Il est possible de montrer que certains modèles particuliers de polymères, dits exactement solubles, font partie de la même classe, mais un des problèmes ouverts du domaine est de montrer l’universalité de ce résultat pour des modèles généraux de polymères dirigés. Toutefois, sous un changement d’échelle diffusif, on peut montrer que la fonction de partition point-à-point des polymères généraux converge vers la solution de l’équation de la chaleur stochastique, montrant un résultat d’universalité KPZ faible des modèles de polymères. En dimension supérieure, il n’est pas encore certain que les équations KPZ et SHE soient bien posées. Pour étudier ces équations en dimension supérieure, l’approche que l’on considérera consiste à régulariser les équations KPZ et SHE avec un bruit moyenné en espace, puis à regarder la limite des solutions lorsque la régularisation est dissipée. Il se trouve que dans un certain régime de paramètres, les solutions de ces équations régularisées sont reliées aux fonctions de partition d’un modèle de polymère dirigé, et l’on peut mettre à profit les techniques et résultats de la littérature des polymères pour les étudier
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tel-02886376 , version 1 (01-07-2020)

Identifiants

  • HAL Id : tel-02886376 , version 1

Citer

Clément Cosco. Directed polymers and the KPZ equation. General Mathematics [math.GM]. Université Sorbonne Paris Cité, 2019. English. ⟨NNT : 2019USPCC037⟩. ⟨tel-02886376⟩
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