Conservation laws in the modelling of collective phenomena
Lois de conservation pour la modélisation de dynamiques de groupe
Résumé
This thesis is devoted to macroscopic traffic flow modelling, which describes traffic flow by variables averaged over multiple vehicles. It mainly focuses on a situation in which the maximum flow of cars is limited at a fixed point along the road. Thanks to such considerations, we can model traffic flow through toll gates or construction sites. From a mathematical point of view we consider systems of hyperbolic conservation laws with constraint condition. Research is based on three macroscopic models, namely Lighthill-Witham-Richards model (LWR), Aw-Rascle-Zhang model (ARZ) and phase transition model (PT). The aim of thesis is to establish the existence and properties of a weak solutions. The thesis consists of 6 chapters and 2 appendices. In the first chapter, we introduce basic ideas of traffic modelling. The second chapter is devoted to a detailed discussion of basic macroscopic traffic flow models. In the third chapter, we describe the LWR model with a local point constraint on the flow. The fourth chapter is devoted to ARZ model with local point constraint on the flow. We prove there the existence of the weak solutions, corresponding to a non-conservative Riemann solver, in the class of functions with bounded variation. The goal is obtained by showing the convergence of a sequence of approximate solutions constructed via the Wave Front Tracking method. In the fifth chapter, we describe two PT models with the local point constraint on the flow. Then we examine their consistency, L1loc-continuity and invariant domains. The remainder of the chapter is devoted to the existence result of a weak solution in the class of function with bounded variation for one of these models with a metastable phase. The goal is obtained by showing the convergence of a sequence of approximate solutions constructed via Wave Front Tracking method. The sixth chapter is devoted to two macroscopic models on road networks. The first is the LWR model with moving constraint on the flow and the second is the PT model introduced in the second chapter.
Cette thèse est consacrée à la modélisation macroscopique du trac routier ou celle-ci décrit le trac avec des variables moyennées sur plusieurs voitures. Il se concentre principalement sur une situation dans laquelle le flux maximal de voitures est limité par un point qui reste fixe sur la route. Grâce à ces considérations, nous pouvons décrire le trafic à des postes de péage et à des chantiers. D'un point de vue mathématique des systèmes hyperboliques de lois de conservation avec condition de contrainte. La recherche est basée sur trois modèles macroscopiques, à savoir le modèle de Lighthill-Witham-Richards (LWR), le modèle Aw-Rascle-Zhang (ARZ) et le modèle de transition de phase (TP). Le but de la thèse est d'établir l'existence et les propriétés d'une solution faible. La thèse comprend 6 chapitres et 2 annexes. Dans le premier chapitre, nous introduisons les idées de base de la modélisation du trafic. Le second chapitre est dédié à une discussion détaillée des modèles macroscopiques de base dans le trac. Dans le troisième chapitre, nous décrivons le modèle LWR contenant une contrainte ponctuelle locale sur le flux. Le quatrième chapitre est dédié au modèle ARZ avec une contrainte ponctuelle locale sur le flux. Nous prouvons là l'existence de la solution faible correspondant au solver de Riemann non conservatif dans la classe des fonctions à variations bornées. Le but est obtenu en montrant la convergence d'une suite de solutions approchées construites à partir de la méthode de Wave Front Tracking. Dans le chapitre 5, nous décrions deux modèles TP avec contrainte ponctuelle locale sur le flux. Ensuite nous étudions leurs consistances, leurs L1loc - continuités et leurs domaines invariants. Le reste du chapitre est dédié à l'existence d'une solution faible dans la classe des fonctions a variations bornées pour l’un de ces modèles. Le but est obtenu en montrant la convergence d'une suite de solutions approchées construites à partir de la méthode de Wave Front Tracking. Le sixième chapitre est consacré à deux modèles macroscopiques sur les réseaux routiers. Le premier est le modèle LWR avec une contrainte mobile et le second est le modèle PT présenté dans le deuxième chapitre.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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