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Theses Year : 2020

Period morphisms and syntomic cohomology

Morphismes de périodes et cohomologie syntomique

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Abstract

Recently, Colmez and Nizioł proved a comparison theorem between arithmetic p-adic nearby cycles and syntomic cohomology sheaves. To prove it, they gave a local construction using (\phi,\Gamma)-modules which allows to reduce the period isomorphism to a comparison theorem between Lie algebras. In this thesis, we first give the geometric version of this construction before globalizing it to get a global period isomorphism. This period morphism can be used to describe the étale cohomology of rigid analytic spaces. In particular, we deduce the semi-stable conjecture of Fontaine-Jannsen, which relates the étale cohomology of the rigid analytic variety associated to a formal proper semi-stable scheme to its Hyodo-Kato cohomology. This result was also proved by (among others) Tsuji, via the Fontaine-Messing map, and by Cesnavicius and Koshikawa, which generalized the proof of the crystalline conjecture by Bhatt, Morrow and Scholze. In the second part of the thesis, we use the previous map to show that the period morphism of Tsuji and the one of Cesnavicius-Koshikawa are the same.
Dans un travail récent, Colmez et Niziol ont prouvé un théorème de comparaison entre les cycles proches p-adiques arithmétiques et la cohomologie des faisceaux syntomiques. Ils ont pour cela donné une construction locale utilisant des (\phi, \Gamma)-modules qui permet de réduire l’isomorphisme de période à un théorème de comparaison entre des algèbres de Lie. Dans cette thèse, on commence par donner la version géométrique de cette construction. On construit ensuite à partir de cette application locale un isomorphisme de période global. Le morphisme de période obtenu est utile pour décrire la cohomologie étale d’espaces analytiques rigides. On peut notamment en déduire la conjecture semi-stable de Fontaine- Jannsen qui relie la cohomologie étale de la variété analytique rigide associée à un schéma formel semi-stable propre à sa cohomologie de Hyodo-Kato. Ce résultat a également été prouvé par (entre autres) Tsuji, via l’application de Fontaine-Messing, et par Cesnavicius et Koshikawa, qui généralisent la preuve de la conjecture cristalline de Bhatt, Morrow et Scholze. Dans la deuxième partie de la thèse, on utilise l’application construite précédemment pour montrer que les morphismes de période de Tsuji et de Cesnavicius-Koshikawa sont égaux.
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Dates and versions

tel-02965753 , version 1 (13-10-2020)

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  • HAL Id : tel-02965753 , version 1

Cite

Sally Gilles. Morphismes de périodes et cohomologie syntomique. Théorie des nombres [math.NT]. Université de Lyon, 2020. Français. ⟨NNT : 2020LYSEN049⟩. ⟨tel-02965753⟩
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