Finite fibers of rational maps by means of matrix representations with applications to distance problem
Représentations matricielles des fibres finies d’applications rationnelles et problèmes de distances
Résumé
In this thesis, implicit matrix-based representations of finite fibers of rational maps are studied theoretically and computationally for two problems: implicitization of rational algebraic curves in arbitrary dimension and orthogonal projections of a point onto an rational algebraic surface in three dimensional space. The proposed matrices have the property that their cokernels at a given point p in the target space of the rational map are in relation with the pre-images of the p via this rational map. In addition, these matrices can be pre-computed so that the pre-images of such a point p can be approximately computed by means of fast and robust numerical linear algebra tools. In the second chapter, a new family of implicit matrix representations is introduced for algebraic curves. It relies on the use of moving quadrics following curve parameterizations and provides a high-order extension of the implicit matrix representations built from their linear counterparts, the moving planes. Such matrices offer new, more compact, implicit representations of rational curves. Their entries are filled by linear and quadratic forms in the space variables and their ranks drop exactly on the curve. Typically, for a general rational curve of degree d we obtain a matrix whose size is half of the size of the corresponding matrix obtained with the moving planes method. In the third chapter, the problem of computing the orthogonal projections of a point onto a rational algebraic surface embedded in three dimensional projective space is turned into the problem of computing the finite fibers of a generically finite dominant rational map: a congruence of normal lines to the rational surface. Then, an in-depth study of certain syzygy modules associated to such a congruence is presented and applied to build elimination matrices that provide universal representations of its finite fibers, under some genericity assumptions. Moreover, these matrices depend linearly in the variables of the three dimensional space and can be pre-computed for a given rational surface. Lastly, the appendix of this thesis reports on a three-month industrial secondment at the company Missler Software where two distance problems are treated : distance between a circle and a line in 3D and distance between an arc of a circle and a segment of a line in three dimensional space.
Dans cette thèse, de nouvelles représentations matricielles des fibres finies d'applications rationnelles sont introduites et étudiées d'un point de vue théorique mais aussi pratique avec l'objectif de traiter des problèmes de distances, notamment les deux problèmes suivant : l'implicitisation des courbes rationnnelles algébriques en dimension arbitraire et la détermination des projetés orthogonaux d'un point sur une surface rationnelle algébrique en dimension trois. Les noyaux à gauche de ces représentations matrices, après évaluation en un point p de l'espace ambiant sont reliés aux pré-images du point p par l'application rationnelle considérée. De plus, ces matrices peuvent être pré-calculées et les pré-images d'un point p peuvent être calculées approximativement de manière efficace et robuste grâce aux outils d'algèbre linéaire. Dans le deuxième chapitre, une nouvelle famille des représentations matricielles est proposée pour les courbes algébriques rationnelles. Elle est basée sur le concept de "quadriques mobiles" associées aux courbes parametrées. Elle fournit une extension non linéaire des représentations matricielles qui sont obtenues au moyen du concept plus classique de "plans mobiles" associés à une paramétrisation. Ces matrices fournissent ainsi de nouvelles représentations implicites plus compactes pour les courbes rationnelles algébriques. Leurs entrées sont composées de formes linéaires et quadratiques en les variables de l'espace ambiant et leur rang chute exactement sur la courbe considérée. De plus, pour une courbe rationnelle générale de degré d ces nouvelles matrices sont deux fois plus petites en taille que les matrices, plus classiques, qui n'utilisent que des plans mobiles, et donc dont les entrées sont exclusivement composées de formes linéaires. Dans le troisième chapitre, le calcul des projetés orthogonaux d'un point sur une surface rationnelle algébrique dans l'espace projectif de dimension trois est étudié comme un problème d'inversion, plus précisément comme le calcul des fibre finies d'applications rationnelles génériquement finies et dominantes : les congruences des droites normales à une surface algébrique rationnelle. Une analyse fine des modules de relations (syzygies) associés à ces congruences est tout d'abord menée, puis utilisée pour construire des matrices eliminantes qui fournissent des représentations universelles de ces fibres finies. De plus, ces matrices dependent linéairement des variables de l'espace ambiant de dimension trois et elles peuvent être pré-calculées pour une surface algébrique rationnelle donnée. Enfin, l'appendice de cette thèse décrit les résultats obtenus lors d'un séjour de recherche mené chez le partenaire industriel Missler Software. Deux problèmes de distance en dimension trois ont été étudiés : le calcul de la distance entre un cercle et une droite puis le calcul de la distance entre un arc de cercle et un segment de droite.
Domaines
Géométrie algébrique [math.AG]| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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