Analysis and approximation of compressible viscoplastic models with general nonlinearity for granular flows
Analyse et approximation des modèles viscoplastique avec la non-linéarité générale des fluides granulaires
Résumé
This thesis is motivated by a research program between the LAMA (Mathematics, Univ. Gustave
Eiffel) and the Institut de Physique du Globe of Paris (Earth Sciences) on granular media and their
mathematical description.
We consider here a continuous description: the material is described as a fluid with viscoplastic
rheology, that allows us to model the transition between static (solid) states and mobile (liquid)
states. Incompressible models have been used since the introduction of the so called µ(I) rheology
(Jop et al. 2006). However such models do not represent accurately real flows, even in laboratory
experiments. Recent studies indicate that volume variations, even if not significantly large, play a
key role in the dynamics. Therefore compressible models have been recently considered (Barker et
al. 2017). Although particular rheologies such as Bingham or Herschel-Bulkley models have been
often considered in mathematical studies such as Malek et al. 2010, not much can be found on
general nonlinearities in terms of the trace and the norm of the strain rate tensor. We consider
here compressible models with general nonlinearities σ ∈ ∂F(D) where σ is the stress, D is the
strain rate and F is a convex viscoplastic potential. Under technical assumptions on F such
as subquadratic growth and superlinearity we prove the existence of solutions to the associated
variational problem. This is obtained in the viscous as well as in the inviscid cases. We establish
Euler-Lagrange characterizations of these solutions. No regularity is assumed on F, thus yield
stress rheologies are included. Numerical methods for viscoplastic laws have been classically used:
augmented Lagrangian or regularization methods. However these methods were designed merely
for Bingham or Herschel-Bulkley fluids, and moreover their cost is still too high for applications
to real configurations. Here we consider an iterative but explicit method in the sense that there
is no linear system to solve, inherited from the minimizing of total variation functionals used in
imaging (Chambolle, Pock 2011). It is applicable to any kind of nonlinearity, and includes a kind
of projection on some convex sets. We prove the convergence of the method discretized in space
with finite elements. Numerical tests confirm the theoretical results.
Cette th`ese est motiv´ee par un programme de recherche entre le LAMA (Math´ematiques, Univ.
Gustave Eiffel) et l’Institut de Physique du Globe de Paris (Sciences de la terre) sur les milieux
granulaires et leur description math´ematique.
Nous consid´erons ici une description continue: le mat´eriau est d´ecrit comme un fluide avec rh´eologie
viscoplastique, qui permet de mod´eliser la transition entre les ´etats statiques (solides) et mobiles
(liquides). Des mod`eles incompressibles ont ´et´e utilis´es depuis l’introduction de la rh´eologie µ(I)
(Jop et al. 2006). N´eanmoins de tels mod`eles ne repr´esentent pas correctement les ´ecoulements
r´eels, mˆeme dans les exp´eriences de laboratoire. Des ´etudes r´ecentes indiquent que les variations
de volume, mˆeme si elles ne sont pas significativement grandes, jouent un rˆole pr´epond´erant dans
la dynamique. Des mod`eles compressibles ont alors ´et´e consid´er´es r´ecemment (Barker et al. 2017).
Bien que des rh´eologies particuli`eres telles que Bingham ou Herschel-Bulkley aient ´et´e souvent
consid´er´ees dans les ´etudes math´ematiques telles que Malek et al. 2010, peu d’´etudes concernent
des nonlin´earit´es g´en´erales en terme de la trace et de la norme du tenseur de taux de d´eformation.
Nous consid´erons ici des mod`eles compressibles avec nonlin´earit´e g´en´erale σ ∈ ∂F(D) o`u σ est le
tenseur des contraintes, D le taux de d´eformation, et F est un potentiel viscoplastique convexe.
Sous des hypoth`eses techniques sur F telles qu’une croissance sous-quadratique et une sur-lin´earit´e,
nous prouvons l’existence de solutions au probl`eme variationnel associ´e. Cela est obtenu dans le cas
visqueux aussi bien que dans le cas non visqueux. Nous ´etablissons des caract´erisations d’EulerLagrange de ces solutions. Aucune r´egularit´e n’est suppos´ee sur F, et donc les rh´eologies avec seuil
de plasticit´e sont incluses. Des m´ethodes num´eriques pour les probl`emes viscoplastiques ont ´et´e
classiquement consid´er´ees: lagrangien augment´e ou r´egularisation. Cependant ces m´ethodes ont ´et´e
mises au point essentiellement pour les fluides de Bingham ou d’Herschel-Bulkley, et de plus leur
coˆut est encore trop ´elev´e pour les applications aux configurations r´eelles. Ici nous consid´erons une
m´ethode it´erative mais explicite, dans le sens o`u il n’y a pas de syst`eme lin´eaire `a r´esoudre, h´erit´ee
de la minimisation de functionnelles de type variation totale utilis´ee en imagerie (Chambolle, Pock
2011). Elle est applicable `a n’importe quelle forme de nonlin´earit´e, et fait intervenir une sorte de
projection sur des ensembles convexes. Nous prouvons la convergence de la m´ethode discr´etis´ee en
espace avec des ´el´ements finis. Des tests num´eriques confirment les r´esultats th´eoriques.
| Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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