Homotopy algorithms for solving structured determinantal systems
Algorithmes d'homotopie pour la résolution de systèmes déterminants structurés
Résumé
Multivariate polynomial systems arising in numerous applications
have special structures. In particular, determinantal structures and
invariant systems appear in a wide range of applications such as in
polynomial optimization and related questions in real algebraic
geometry. The goal of this thesis is to provide efficient
algorithms to solve such structured systems.
In order to solve the first kind of systems, we design efficient
algorithms by using the symbolic homotopy continuation
techniques. While the homotopy methods, in both numeric and
symbolic, are well-understood and widely used in polynomial system
solving for square systems, the use of these methods to solve
over-detemined systems is not so clear. Meanwhile, determinantal
systems are over-determined with more equations than unknowns. We
provide probabilistic homotopy algorithms which take advantage of
the determinantal structure to compute isolated points in the
zero-sets of determinantal systems. The runtimes of our algorithms
are polynomial in the sum of the multiplicities of isolated points
and the degree of the homotopy curve. We also give the bounds on the
number of isolated points that we have to compute in three contexts:
all entries of the input are in classical polynomial rings, all
these polynomials are sparse, and they are weighted polynomials.
In the second half of the thesis, we deal with the problem of
finding critical points of a symmetric polynomial map on an
invariant algebraic set. We exploit the invariance properties of the
input to split the solution space according to the orbits of the
symmetric group. This allows us to design an algorithm which gives a
triangular description of the solution space and which runs in time
polynomial in the number of points that we have to compute. Our
results are illustrated by applications in studying real algebraic
sets defined by invariant polynomial systems by the means of the
critical point method.
Les systèmes polynomiaux multivariés apparaissant dans de nombreuses
applications ont des structures spéciales et les systèmes invariants
apparaissent dans un large éventail d'applications telles que dans
l’optimisation polynomiale et des questions connexes en géométrie
algébrique réelle. Le but de cette thèse est de fournir des
algorithmes efficaces pour résoudre de tels systèmes structurés.
Afin de résoudre le premier type de systèmes, nous concevons des
algorithmes efficaces en utilisant les techniques d’homotopie
symbolique. Alors que les méthodes d'homotopie, à la
fois numériques et symboliques, sont bien comprises et largement
utilisées dans la résolution de systèmes polynomiaux pour les
systèmes carrés, l'utilisation de ces méthodes pour résoudre des
systèmes surdéterminés n'est pas si claire. Hors, les
systèmes déterminants sont surdéterminés avec plus d'équations que
d'inconnues. Nous fournissons des algorithmes d'homotopie
probabilistes qui tirent parti de la structure déterminantielle pour
calculer des points isolés dans les ensembles des zéros de tels
systèmes. Les temps d'exécution de nos algorithmes sont
polynomiaux dans la somme des multiplicités des points isolés et du
degré de la courbe d'homotopie. Nous donnons également des bornes
sur le nombre de points isolés que nous devons calculer dans trois
contextes: toutes les termes de l'entrée sont dans des anneaux
polynomiaux classiques, tous ces polynômes sont creux, et ce
sont des polynômes à degrés pondérés.
Dans la seconde moitié de la thèse, nous abordons le problème de la
recherche de points critiques d'une application polynomiale
symétrique sur un ensemble algébrique invariant. Nous exploitons
les propriétés d'invariance de l'entrée pour diviser l'espace de
solution en fonction des orbites du groupe symétrique. Cela nous
permet de concevoir un algorithme qui donne une description
triangulaire de l'espace des solutions et qui s'exécute en temps
polynomial dans le nombre de points que nous devons calculer. Nos
résultats sont illustrés par des applications à l'étude d'ensembles
algébriques réels définis par des systèmes polynomiaux invariants
au moyen de la méthode des points critiques.
Origine | Fichiers produits par l'(les) auteur(s) |
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