Malliavin calculus and Dirichlet structures for independent random variables
Calcul de Malliavin et structures de Dirichlet pour des variables aléatoires indépendantes
Résumé
Malliavin calculus was initially developed to provide an infinite-dimensional variational calculus on the Wiener space and further extended to other spaces. In this work, we develop such one in two discrete frameworks. First, we equip any countable product of probability spaces with a discrete Dirichlet-Malliavin structure, consisting of a family of Malliavin operators (gradient, divergence, number operator), an integration by parts formula, and the induced Dirichlet forms. We get the analogues of the classical functional identities and retrieve the usual Poisson and Brownian Dirichlet structures as limits of our induced structures. We provide discrete Stein-Malliavin criterions for the Normal and the Gamma approximations. Second we study insider's trading in a ternary model, Iying on a three-points compound geometric process. We state a modified chaotic decomposition and define the geometric gradient and divergence operators as the annihilation and creation operators acting on it. We state a geometric Ocone-Karatzas formula. We express the insider's additional expected logarithmic utility in terms of relative entropy as in the continuous case.
Cette thèse porte sur le calcul de Malliavin dont on munit deux cadres discrets. On équipe tout produit dénombrable d'espaces de probabilités d'une structure de Dirichlet-Malliavin au moyen d'opérateurs (gradient, divergence, opérateur nombre), d'une formule d'intégration par parties, et des formes de Dirichlet induites. On obtient les analogues discrets aux identités fonctionnelles classiques des processus Brownien et Poisson dont les structures de Dirichlet s'écrivent comme limites des structures induites par notre formalisme. Des critères de Stein-Malliavin discrets sont établis pour les approximations Normale et Gamma. Le second cadre est celui d'un modèle financier ternaire sous-tendu par un processus géométrique composé à trois points, et équivalent en loi au modèle trinomial. Toute fonctionnelle de ce processus géométrique composé de carré intégrable possède un développement en chaos "modifié" sur lequel agissent des opérateurs d'annihilation/gradient et de création/divergence vérifiant en outre une formule de commutation généralisée. S'ensuit de la formulede Clark "géométrique" qu'il est alors possible d'établir, une formule de hedging pour l'initié dont l'utilité additionnelle espérée s'exprime en termes d'entropie relative, comme dans le cas continu.
| Origine | Version validée par le jury (STAR) |
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