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Thèse Année : 2020

Computation of Refined Enumerative Invariants in Real and Tropical Geometry

Calcul d'invariants énumératifs raffinés en géométrie réelle et tropicale

Résumé

Tropical geometry enabled the computation of numerous invariants in complex geometry (Gromov-Witten invariants), as well as in real geometry (Welschinger invariants) using correspondence theorems. These theorems reveal a deep connection between tropical geometry and classical geometry. The richness of tropical objects coupled with their simplicity of use also enabled the definition of tropical refined invariants, whose interpretation on the classical geometry side remains quite mysterious, although several conjectures, the Göttsche-Shende conjecture, suggest an even deeper connection to other classical geometric quantities. One such interpretation is proposed by Mikhalkin in 2015, through the counting of real rational curves in toric surfaces, according to the value of a so-called "quantum index". The refined count of curves, which have to pass through some real and complex conjugated points chosen on the toric boundary of the surface, happens to depend only on the number of complex points on each divisor. In the case where all the chosen points are real, Mikhalkin related the obtained invariant to tropical refined invariants. After giving a way of computing the quantum index of rational curves, we extend this relation between classical and tropical invariants in the case where some of the points of the configuration are purely imaginary, and we give a recursive formula that allows one to compute the involved tropical refined invariants. Finally, we propose a generalization of these refined tropical invariants in toric varieties of higher dimension.
La géométrie tropicale a permis le calcul de nombreux invariants de géométrie complexe (invariants de Gromov-Witten), ainsi que réelle (invariants de Welschinger) à travers l'utilisation de théorèmes de correspondance. Ceux-ci mettent à jour des liens profonds entre la géométrie tropicale et la géométrie dite classique. La richesse des objets tropicaux alliée à leur simplicité apparente a également permis de proposer de nouveaux invariants, dits raffinés, dont les interprétations en géométrie classique restent à ce jour encore mystérieuses, bien que plusieurs conjectures, comme celle de Göttsche-Shende, laissent présager d'une connexion profonde avec certaines quantités géométriques classiques. Une de ces interprétations est proposée par Mikhalkin en 2015, à travers le comptage de courbes rationnelles réelles dans les surfaces toriques, en fonction de la valeur d'un "indice quantique". Les courbes comptées sont astreintes à passer par certains points réels ou complexes conjugués situés sur les diviseurs toriques de la surface, et le résultat s'avère ne dépendre que du nombre de points complexes. Dans le cas où les points sont réels, Mikhalkin relie l'invariant classique ainsi obtenu aux invariants tropicaux raffinés. En donnant une manière de calculer l'indice quantique d'une courbe rationnelle quelconque, nous étendons ensuite cette relation entre invariants classiques et tropicaux dans le cas où certains des points de la configuration sont imaginaires purs, et fournissons une formule récursive qui permet un calcul effectif de ces invariants raffinés tropicaux. Enfin, on propose une généralisation des invariants raffinés au cas de variétés toriques de dimension arbitraire.
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Origine : Version validée par le jury (STAR)

Dates et versions

tel-03171737 , version 1 (17-03-2021)

Identifiants

  • HAL Id : tel-03171737 , version 1

Citer

Thomas Blomme. Computation of Refined Enumerative Invariants in Real and Tropical Geometry. Algebraic Geometry [math.AG]. Sorbonne Université, 2020. English. ⟨NNT : 2020SORUS016⟩. ⟨tel-03171737⟩
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